【２】有限体上の楕円曲線

　今回のコラムでは，整数を法ｐで考えた有限体の上の３次方程式ｙ^2＝ｘ^3＋ａｘ＋ｂの群の位数について考察します．係数をＦpにもつ３次方程式を考えて，非特異であるための必要十分条件は，ｐ≠２，かつ，Ｆpの元として（ｍｏｄ　ｐで）

　　　２^2ａ^3＋３^3ｂ^2≠０　　 です．

　一般論に進む前に，具体例を掲げておきましょう．有限体Ｆ5上の非特異３次曲線

　　ｙ^2＝ｘ^3＋ｘ＋１＝ｆ（ｘ）

について，

　　ｆ（０）＝１（平方剰余）　→　ｙ＝±１

　　ｆ（１）＝３（平方非剰余）

　　ｆ（２）＝１１＝１（平方剰余）　→　ｙ＝±１

　　ｆ（３）＝３１＝１（平方剰余）　→　ｙ＝±１

　　ｆ（４）＝６９＝４（平方剰余）　→　ｙ＝±２

ですから，無限遠点を含めて９つの点が見つかります．可換群の構造が入るのは，有限体Ｆpにおいても同様で，この場合，位数９の可換群となります．

　一般のＦpについて，Ｆp＝｛０，１，・・・，ｐ−１｝を方程式：ｙ^2＝ｆ（ｘ）に代入してみましょう．すると

　　(1)ｆ（ｘ）＝０なら１つだけの解ｙ＝０がある．

　　(2)ｆ（ｘ）≠０ならｆ（ｘ）のとり得る０でない値の半分に対して，ｙとして２つの解がある．したがって，

　　Ｃ：ｙ^2＝ｘ^3＋ａｘ＋ｂ＝ｆ（ｘ）

の有限体Ｆpにおける群の位数（元の個数）＃Ｃ（Ｆp）は，ｆ（ｘ）の値が平方と非平方に均等に分布していれば，およそｐ＋１個の点が期待できます．

　よって，解の個数は，

　　＃Ｃ（Ｆp）＝ｐ＋１＋（誤差項）

の形になることがわかります．誤差項Ｍpはｐに比べて小さく，

　　｜Ｍp｜≦２√ｐ

　　−２√ｐ≦＃Ｃ（Ｆp）−ｐ−１≦２√ｐ

を満たすことが証明されています（ハッセの定理，１９３３年）．ハッセの不等式は，有限体上の曲線に対するリーマン予想とも呼ばれるものです．

　佐藤予想とは，楕円曲線Ｃの位数の分布に関するもので，Ｃが虚数乗法をもたないとき，

　　ｃｏｓθp＝（＃Ｃ（Ｆp）−ｐ−１）／２√ｐ＝Ｍp／２√ｐ

の偏角θpが，任意に固定された０≦ａ≦ｂ≦πに対して，［ａ，ｂ］となる素数密度：

　　＃｛ｐ≦ｘ；ａ＜θp＜ｂ｝／π（ｘ）　〜　2/π∫(a,b)sin^2θdθ

すなわち，その角分布はｓｉｎ^2θに比例するであろうというものです．

　佐藤予想には，多くの言い換えがあって， (1)ｘ^2＋Ｍpｘ＋ｐ＝０

の解を

　　√ｐ（ｃｏｓθ±ｉｓｉｎθ）

とするとき，その角分布はｓｉｎ^2θに比例する

(2)Ｍp／２√ｐが√（１−ｘ^2）に比例する

(3)ハミルトンの４元数環（フルヴィッツの整数）：（ａ＋ｂｉ＋ｃｊ＋ｄｋ）／２の半径ｐの格子点３次元球面：ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2＝４ｐの一様分布の実軸方向への射影である

といっても同じことです．

　なお，佐藤予想とは一見無関係に見えますが，Ｍpが−２√ｐから＋２√ｐまでの区間をまんべんなく広がって分布していることに則って，巨大な整数の素因数分解に楕円曲線を応用する方法がレンストラによって発見され，最も強力な素因数分解法になっています． 　

　現在，大きな素数を素因数分解するのに有用なアルゴリズムとして「楕円曲線法」や「平方ふるい法」とが知られています．楕円曲線はフェルマー予想の解決で注目された曲線で，数論研究に非常に役立っています．また，暗号理論も楕円曲線の重要な応用分野になっています．

［補］リーマン予想とは，リーマンのゼータ関数ζ（ｓ）の実部が０と１の間にあり，零点の実部ははすべて１／２であるという仮説．リーマンのゼータ関数ζ（ｓ）を指標χに関するディリクレのＬ関数Ｌ（χ，ｓ）に置き換えたものが一般リーマン予想です．２１世紀に残された３大問題として，リーマン予想，ポアンカレ予想，Ｐ＝ＮＰ問題があげられています．

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