■円錐面の輪切り(その24)

 直角双曲線xy=1に対しては

点Pを直角双曲線上の点とし,その点での接線がx軸,y軸と交わる点をM,Nとする.このとき,x軸,y軸と線分MNで囲まれる面積△OMNは一定である.  (原点O)

 これも含め,楕円と双曲線の場合は原点と接線の両端を結ぶ三角形の面積は一定であった.そのため,扇型の面積も一定となる.放物線の場合も三角形の面積は一定であろうか?

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 2つの2次曲線

[1]y=1/2・x^2

[2]y=1/2・x^2+c^2

がある.

 点P(x0,y0)とすると,y0=1/2・x0^2+c^2

 接線はy−y0=x0(x−x0)

y=x0x−x0^2+y0=x0x−1/2・x0^2+c^2

 交点のx座標は

  1/2・x^2=x0x−1/2・x0^2+c^2

  x^2−2x0x+x0^2−2c^2

の解で与えられる.この解をα,β(α<β)とすると,

  α+β=2x0

  αβ=x0^2−2c^2

  β−α=(4x0^2−4x0^2+8c^2)^1/2=c2√2

  β^2−α^2=cx04√2

  β^3−α^3=(β−α)(α^2+αβ+β^2)=(β−α){(α+β)^2−αβ}=c2√2{4x0^2−x0^2+2c^2}=cx0^26√2+c^34√2

 三角形の面積は

1/2|α,1/2α^2|

   |β,1/2β^2|

=1/4・αβ(β−α)=c(x0^2−2c^2)/√2

 これはx0の依存してしまう.

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