■円錐面の輪切り(その19)

 双曲線関数を使ってみたい.

  x=√k・acoshθ,y=√k・bsinhθ

  dx=√k・asinhθdθ,dy=√kbcoshθdθ

  dy/dx=b/a・cothθ

 接線の方程式は

  y−√k・bsinhθ=b/a・cothθ・(x−√k・acoshθ)

  ay−√k・absinhθ=bcothθ(x−√k・acoshθ)

  (bcothθ)x−(a)y=√k・ab(−sinhθ+cosh^2θ/sinhθ)

  (bcoshθ)x−(asinhθ)y=√k・ab

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 x=acoshθ

 y=bsinhθ

楕円と接線の交点を

  (acoshα,bsinhα)

  (acoshβ,bsinhβ)

とすると,

  (bcoshθ)acoshα−(asinhθ)bsinα=√k・ab

  cosh(θ−α)=√k

  cosh(β−θ)=√k

  θ−α=arccosh(√k)

  β−θ=arccosh(√k)

  β−α=2arccosh(√k)

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 S=∫xdy=−∫ydx=1/2・∫(xdy−ydx)

 S=1/2・∫(xdy−ydx)

の形にした方が対称性が保たれて計算しやすい.

 扇型の面積は

 S=1/2・∫(abcosh^2θ−absinh^2θ)dθ

 S=ab/2・∫[α,β]dθ=ab/2・(β−α)

=ab/2・2arccosh√k  (一定)

 三角形の面積は

 1/2|acoshα,bsinhα|

    |acoshβ,bsinhβ|

=ab/2・sinh(β−α)

=ab/2・sinh(2arccosh√k)  (一定)

 したがって,(扇型−三角形)の面積は一定である.

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