［Ｑ］ｅ^eに最も近い整数を求めよ

［Ａ］１５

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　　１−１／２＋１／３−１／４＋・・・＝ｌｏｇ２　　（メルカトール級数）

は

　　ｌｏｇ（１＋ｘ）＝ｘ−ｘ^2／２＋ｘ^3／３−ｘ^4／４＋・・・

にｘ＝１を代入すると得られます．この式は｜ｘ｜＜１でしか有効ではないので，もしこの式からｌｏｇ３を求めようとするならばまったく意味をなさないものになります．ｘ＝２を代入すると

　　２−２^2／２＋２^3／３−２^4／４＋・・・

　＝２−２＋８／３−４＋・・・　　（振動）

　そこで，ｘを−ｘで置き換えた級数

　　ｌｏｇ（１−ｘ）＝−ｘ−ｘ^2／２−ｘ^3／３−ｘ^4／４−・・・

を組み合わせると

　　ｌｏｇ（１＋ｘ）／（１−ｘ）＝２（ｘ＋ｘ^3／３＋ｘ^5／５＋ｘ^7／７＋・・・）

が得られます．｜ｘ｜＜１でしか有効ではないのですが，このとき，（１＋ｘ）／（１−ｘ）はすべての正値を取ることができますから，たとえば，

　　（１＋ｘ）／（１−ｘ）＝２　→　ｘ＝１／３

したがって，

　　ｌｏｇ２＝２（１／３＋１／３・３^3＋１／５・３^5＋１／７・３^7＋・・・）

　（１＋ｘ）／（１−ｘ）＝３　→　ｘ＝１／２

　　ｌｏｇ３＝２（１／２＋１／３・２^3＋１／５・２^5＋１／７・２^7＋・・・）

一般に，（１＋ｘ）／（１−ｘ）＝Ｎ　→　ｘ＝（Ｎ−１）／（Ｎ＋１）

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logN〜eとなるNを求めればよい

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２（ｘ＋ｘ^3／３＋ｘ^5／５＋ｘ^7／７＋・・・）〜e

２ｘ（1＋ｘ^2／３＋ｘ^4／５＋ｘ^6／７＋・・・）

x＝１を代入してみると

2（1+1/3+1/5+1/7＋・・・）＝2・（105+35+21+15）/105＝3.35

x=0.8=4/5,x^2=16/25を代入してみる

2・4/5（1+16/25/3+256/625/5+・・・）＝2.07

x=0.9=9/10,x^2=81/100を代入してみる

2・9/10（1+81/100/3+6561/10000/5+・・・）＝2.52

xは0.9より大きい→？？？

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これは

２ｘ（1＋ｘ^2／３＋ｘ^4／５＋ｘ^6／７＋・・・）の収束の遅いための誤差であり、実際は

xは0.9より小さい

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