フェルマーは平方数と平方数の倍数の和として表される素数，すなわち

　　□＋ｍ□＝ｐ

に一定の規則性を発見しました．

［１］４ｎ＋１型素数

　　５＝１^2＋２^2

　　１３＝２^2＋３^2

　　１７＝１^2＋４^2

　　２９＝２^2＋５^2

　　３７＝１^2＋６^2

ａ^2＋ｂ^2の形に表されますが，４ｎ＋３型素数は表されません．

［２］３ｎ＋１型素数

　　７＝２^2＋３・１^2

　　１３＝１^2＋３・２^2

　　１９＝４^2＋３・１^2

　　３１＝２^2＋３・３^2

　　３７＝５^2＋３・２^2

ａ^2＋３ｂ^2の形に表されますが，３ｎ＋２型素数は表されません．

［３］８ｎ＋１型，８ｎ＋３型素数

　　３＝１^2＋２・１^2

　　１１＝３^2＋２・１^2

　　１７＝３^2＋２・２^2

　　１９＝１^2＋２・３^2

　　４１＝３^2＋２・４^2

ａ^2＋２ｂ^2の形に表されますが，８ｎ＋５型，８ｎ＋７型素数は表されません．

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　この応用として

［４］ｙ^2＝ｘ^3−２を満たす整数解は（ｘ，ｙ）＝（３，±５）だけである

［５］ｙ^2＝ｘ^3−９を満たす整数解は存在しない

［６］ｙ^2＝ｘ^3−８を満たす整数解は（ｘ，ｙ）＝（２，０）だけである

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