さて，一般に，多次元ユークリッド空間の点（x1,x2,x3,･･･,xn）は，ｒ＞０，０≦θ1,θ2,･･･,θn-2≦π，０≦θn-1≦２πを満たすｒ,θ1,θ2,･･･,θn-1によって，

　　ｘ1＝ｒｃｏｓθ1

　　ｘ2＝ｒｓｉｎθ1ｃｏｓθ2

　　ｘ3＝ｒｓｉｎθ1ｓｉｎθ2ｃｏｓθ3

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　ｘn-1＝ｒｓｉｎθ1ｓｉｎθ2・・・ｓｉｎθn-2ｃｏｓθn-1

　　ｘn　＝ｒｓｉｎθ1ｓｉｎθ2・・・ｓｉｎθn-2ｓｉｎθn-1

と表すことができます．ただし，ｎ＝２のときは，周知のとおり，

　　ｘ1＝ｒｃｏｓθ1

　　ｘ2＝ｒｓｉｎθ1

とします．（ｒ,θ1,θ2,･･･,θn-1）がｎ次元極座標です．また，そのときヤコビアンD(x1,･･･,xn)/D(r,θ1,･･･,θn-1)は

　　ｒ^(n-1)sin^(n-2)θ1･･･sin^2θn-3sinθn-2

となります．

　円周上の座標は，

　　ｘ＝ｒｃｏｓθ

　　ｙ＝ｒｓｉｎθ

と表され，２次元アステロイドでは，

　　ｘ＝ｒｃｏｓ^3θ

　　ｙ＝ｒｓｉｎ^3θ

とパラメトライズしました．

　同様に，球面上の座標は

　　ｘ＝ｒｓｉｎθｃｏｓφ

　　ｙ＝ｒｓｉｎθｓｉｎφ

　　ｚ＝ｒｃｏｓθ

で定まります．　したがって，３次元アステロイドでは

　　ｘ＝ｒｓｉｎ^3θｃｏｓ^3φ

　　ｙ＝ｒｓｉｎ^3θｓｉｎ^3φ

　　ｚ＝ｒｃｏｓ^3θ

と変数変換して，これをもとにヤコビアンを求め，

　　Ｓ＝∫∫｛１＋（∂ｚ／∂ｘ）^2＋（∂ｚ／∂ｙ）^2｝^1/2ｄｘｄｙ

の置換積分を繰り返すことになります．

　　Ｊ1＝Ｄ（ｘ，ｙ）／Ｄ（θ，φ）

　　Ｊ2＝Ｄ（ｙ，ｚ）／Ｄ（θ，φ）

　　Ｊ3＝Ｄ（ｚ，ｘ）／Ｄ（θ，φ）

とおくと

　　∂ｚ／∂ｘ＝−Ｊ2／Ｊ1

　　∂ｚ／∂ｙ＝−Ｊ3／Ｊ1

より，

　　Ｓ＝∫∫｛Ｊ1^2＋Ｊ2^2＋Ｊ3^2｝^1/2ｄθｄφ

　その際，

ａ）φに関する積分をｃｏｓ^2φ＝ｕと置換して先に計算する．

ｂ）その結果生ずるθの積分のうち，逆三角関数を含む項ではｓｉｎ^2θ＝ｖと置換してから部分積分し，あらゆる無理関数を有理関数化する．

と「解析学大要」養賢堂には指示されています．また，答は

　　Ｓ＝１７／１２πａ^2

とあります．

　私は大量の計算用紙を浪費したあげく，この答えを出すことを断念しました．すなわち，この問題はマイ未解決問題のひとつなので，手計算で答えを出した読者諸賢に対しては敬意を表したいと思います．一方，次の問題は簡単に解けました．

【問】３次元アステロイドの体積

　　Ｖ＝∫∫ｚｄｘｄｙ

を求めよ．　　（答）４／３５πｒ^3・・・3/70πａ^3が正しい

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