エピサイクロイド

　　ｘ＝（ｎ＋１）ｃｏｓθ−ｃｏｓ（ｎ＋１）θ

　　ｙ＝（ｎ＋１）ｓｉｎθ−ｓｉｎ（ｎ＋１）θ

ハイポサイクロド

　　ｘ＝（ｎ−１）ｃｏｓθ＋ｃｏｓ（ｎ−１）θ

　　ｙ＝（ｎ−１）ｓｉｎθ−ｓｉｎ（ｎ−１）θ

において

　　ｃｏｓθ＝（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2）

　　ｓｉｎθ＝２ｔ／（１＋ｔ^2）

と表せばいずれも有理曲線であることは直ちにわかりますが，いま問題としていることはエピサイクロイド，ハイポサイクロドの代数曲線としての次数です．

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　ド・モアブルの定理

　　（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）^n＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθ

の左辺を２項展開して，両辺の実部，虚部を比較することによって

　　ｃｏｓｎθ＝ｃｏｓ^nθ−nＣ2ｃｏｓ^(n-2)θｓｉｎ^2θ＋・・・

　　ｓｉｎｎθ＝nＣ1ｃｏｓ^(n-1)θｓｉｎθ−nＣ3ｃｏｓ^(n-3)θｓｉｎ^3θ＋・・・

が得られますから，ハイポサイクロイドはｃｏｓθに関するｎ−１次式，エピサイクロイドはｎ＋１次式となります．

　（その４）では，　

　　　　　　　エピサイクロイド　　　ハイポサイクロド

　　ｎ＝１　　　　４次曲線

　　ｎ＝２　　　　６次曲線　　　　　　　１次（２次？）

　　ｎ＝３　　　（８次曲線？）　　　　　４次曲線

　　ｎ＝４　　　（10次曲線？）　　　　　６次曲線

となることを示しました．

　ハイポサイクロイドのｎ＝２の場合は１次直線ですが，半径が無限大となって全体が一面に拡がってしまった円弧（２次曲線）と解釈することができますから，

　　　　　　　エピサイクロイド　　　ハイポサイクロド

　　ｎ　　　　　２（ｎ＋１）次　　　　２（ｎ−１）次

となることが予測されます．

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