今回のコラムでは，テーマにアステロイド（星形曲線）を取り上げますが，アステロイドは，固定円の半径が回転円の半径の４倍（ｎ＝４）になっているハイポサイクロイドです．

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（１）代数曲線

　ｒ＝１として，直交座標系におけるこの曲線の方程式を求めてみましょう．

　エピサイクロイドでは，

カージオイド：ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2）^2−６（ｘ^2＋ｙ^2）＋８ｘ−３＝０

ネフロイド：　ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2）^3−１２（ｘ^2＋ｙ^2）^2＋４８ｘ^2−６０ｙ^2−６４＝０

　ハイポサイクロイドは，ｎ＝２のとき，

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝ｙ　　　−２≦ｘ≦２

すなわち，固定円の直径と一致します．直径は２つの尖点をもっていて，その両端は退化した２つの尖点とみなすことができます．

デルトイド：　ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2）^2＋１８（ｘ^2＋ｙ^2）−８ｘ（ｘ^2−３ｙ^2）−２７＝０

アステロイド：ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2）^3−４８（ｘ^2＋ｙ^2）^2＋４３２ｘ^2ｙ^2＋７６８（ｘ^2＋ｙ^2）−４０９６＝０

　いずれも簡単な形にはなりませんが，アステロイドでは

　　ｘ＝３ｒｃｏｓθ＋ｒｃｏｓ３θ

　　ｙ＝３ｒｓｉｎθ−ｒｓｉｎ３θ

　また，３倍角の公式

　　ｃｏｓ３θ＝４ｃｏｓ^3θ−３ｃｏｓθ

　　ｓｉｎ３θ＝３ｓｉｎθ−４ｓｉｎ^3θ

を用いると

　　ｘ＝４ｒｃｏｓ^3θ

　　ｙ＝４ｒｓｉｎ^3θ

より

　　ｘ^2/3 ＋ｙ^2/3 ＝（４ｒ）^2/3＝ａ^2/3

を得ることができます．ｒ＝１では，

　　ｘ^2/3 ＋ｙ^2/3 ＝４^2/3

と表すことができるますが，このほうが一般的でしょう．

　ここで，

　　ｃｏｓθ＝（１−ｔ2）／（１＋ｔ2）

　　ｓｉｎθ＝２ｔ／（１＋ｔ2）

と表せば，エピサイクロイド，ハイポサイクロドは，サイクロイド

　　ｘ＝ｒ（θ−ｓｉｎθ）

　　ｙ＝ｒ（１−ｃｏｓθ）

とは異なり，代数曲線であることがわかます．

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