［１］カージオイドは尖点を中心とする円を使って任意等分できる曲線であること，

［２］内サイクロイドや外サイクロイドは，固定円の同心円で任意等分できることを述べた．

　このことから，カージオイドは２通りの方法で任意等分可能ということになるが，カージオイドの特殊性を示すために，内サイクロイドや外サイクロイドは，尖点を中心とする円を使って任意等分できないことを申し添えておきたい．

　　大円の半径：ｎ，小円の半径：１　　　（０＜ｔ＜２π／ｎ）

とする内サイクロイド

　　ｘ＝（ｎ−１）ｃｏｓｔ＋ｃｏｓ（ｎ−１）ｔ

　　ｙ＝（ｎ−１）ｓｉｎｔ−ｓｉｎ（ｎ−１）ｔ

と外サイクロイド

　　ｘ＝（ｎ＋１）ｃｏｓｔ−ｃｏｓ（ｎ＋１）ｔ

　　ｙ＝（ｎ＋１）ｓｉｎｔ−ｓｉｎ（ｎ＋１）ｔ

について調べてみたい．

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【１】固定円の同心円を使った任意等分

［１］内サイクロイド弧長のｍ等分

　　４（ｎ−１）／ｎ（−ｃｏｓ（ｎｔ／２）＋１）＝８（ｎ−１）／ｍｎ

　　−ｃｏｓ（ｎｔ／２）＋１＝２／ｍ

　　ｃｏｓ（ｎｔ／２）＝１−２／ｍ

　　ｒ^2＝ｘ^2＋ｙ^2＝（ｎ−１）^2＋１＋２（ｎ−１）ｃｏｓｎｔ＝（ｎ−１）^2＋１＋２（ｎ−１）｛２ｃｏｓ^2（ｎｔ／２）−１｝＝（ｎ−１）^2＋１＋２（ｎ−１）（１−８／ｍ−８／ｍ^2）

［２］外サイクロイド弧長のｍ等分

　　４（ｎ＋１）／ｎ（−ｃｏｓ（ｎｔ／２）＋１）＝８（ｎ＋１）／ｍｎ

　　−ｃｏｓ（ｎｔ／２）＋１＝２／ｍ

　　ｃｏｓ（ｎｔ／２）＝１−２／ｍ

　　ｒ^2＝ｘ^2＋ｙ^2＝（ｎ＋１）^2＋１−２（ｎ＋１）ｃｏｓｎｔ＝（ｎ＋１）^2＋１−２（ｎ＋１）｛２ｃｏｓ^2（ｎｔ／２）−１｝＝（ｎ＋１）^2＋１−２（ｎ＋１）（１−８／ｍ−８／ｍ^2）

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【２】尖点を中心とする円を使った任意等分

［１］内サイクロイド弧長のｍ等分

　　４（ｎ−１）／ｎ（−ｃｏｓ（ｎｔ／２）＋１）＝８（ｎ−１）／ｍｎ

　　−ｃｏｓ（ｎｔ／２）＋１＝２／ｍ

　　ｃｏｓ（ｎｔ／２）＝１−２／ｍ

　　（ｘ−ｎ）^2＋ｙ^2＝（ｎ−１）^2＋１＋２（ｎ−１）ｃｏｓｎｔ−２ｎ（ｎ＋１）ｃｏｓｔ−２ｎｃｏｓ（ｎ＋１）ｔ＋ｎ^2

したがって，内サイクロイドは尖点を中心とする円を使って任意等分できない．

［２］外サイクロイド弧長のｍ等分

　　４（ｎ＋１）／ｎ（−ｃｏｓ（ｎｔ／２）＋１）＝８（ｎ＋１）／ｍｎ

　　−ｃｏｓ（ｎｔ／２）＋１＝２／ｍ

　　ｃｏｓ（ｎｔ／２）＝１−２／ｍ

　　（ｘ−ｎ）^2＋ｙ^2＝（ｎ＋１）^2＋１−２（ｎ＋１）ｃｏｓｎｔ−２ｎ（ｎ＋１）ｃｏｓｔ＋２ｎｃｏｓ（ｎ＋１）ｔ＋ｎ^2

　したがって，外サイクロイドは尖点を中心とする円を使って任意等分できないが，ｎ＝１のとき，

　　ｃｏｓ（ｔ／２）＝１−２／ｍ

　　（ｘ−ｎ）^2＋ｙ^2＝６＋２ｃｏｓ２ｔ＝６＋２｛８（１−２／ｍ）^4−８（１−２／ｍ）^2＋１｝

となって，任意等分可能であることがわかる，

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