【４】円と双葉のあいだには？

　ところで，

　　∫1/(1-x^2)^(1/2)dx

は円，

　　∫1/(1-x^4)^(1/2)dx

はレムニスケートに対応していましたが，周長が

　　∫1/(1-x^3)^(1/2)dx

　　∫1/(1-r^3)^(1/2)dx

で表される曲線はどのようなものになるでしょうか？

　この円と双葉の中間に位置する幾何学的対象物は，微分方程式

　　(1+(dy/dx)^2)^(1/2)=1/(1-x^3)^(1/2)

　　dy/dx=(x^3/(1-x^3))^(1/2)

あるいは

　　{1+(rdθ/dr)^2}^(1/2)=1/(1-r^3)^(1/2)

　　dθ/dr=(r/(1-r^3))^(1/2)

を満たさなければなりません．

　直交座標より極座標を考える方が自然と思えるので，極座標の方で示しますが，r^3=tとおいて微分方程式を解くと，不完全ベータ関数

　　θ=1/3∫t^(-1/2)(1-t)^(1/2)dt

が得られます．しかし，これでは正体がつかめません．そこで，試行錯誤的に求めてみることにしました．

　まず，候補にあげられたのが

　　ｒ＝ｃｏｓ（ａθ）　　（正葉曲線，バラ曲線）

です．この曲線では，ａ＝１のとき，

　　1+(rdθ/dr)^2=1/(1-r^2)

となります．

　これまでの結果から，

　　ｒ＝ｃｏｓθのとき，1+(rdθ/dr)^2=1/(1-r^2)

　　ｒ^2＝ｃｏｓ２θのとき，1+(rdθ/dr)^2=1/(1-r^4)

がわかったわけですから，求める曲線は

　　ｒ^(3/2)＝ｃｏｓ（３／２θ）

に違いありません．計算してみると，確かに

　　1+(rdθ/dr)^2=1/(1-r^3)

が得られました．

　大ざっぱにプロットしてみたところでは，三つ葉型曲線の半分になるのですが，ｒ^(3/2)＝ｃｏｓ（３／２θ）がどのような曲線になるのか，各自が実際に描いてみることをお勧めします．また，この曲線が直交座標でどのように書けるか，直してみるのも面白いかもしれません．

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