ペンタフレークは正五角形を組み合わせたフラクタルです。一つの正五角形と辺を共有するように、５つの正五角形を並べ、それを再帰的に繰り返します。

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辺長１の正五角形の面積はS=(5cot36)/4

正五角形と辺を共有するように、５つの正五角形を並べると大五角形の1辺は2+2sin18で、

二等辺三角形の隙間が5か所、その面積の合計は5sin18cos18

トータルで、S・(2+2sin18)^2-5sin18cos18

周長は20となります。

これを逆に見れば1辺(2+2sin18)=2+(φ−１)=(φ+1)=φ^2の正五角形の面積S・(2+2sin18)^2が6sになる

6/φ^4=6(−３φ＋５)=0.876

これを繰り返すことにより得られるオブジェの面積は小さくなり、無限回繰り返した極限において０になる

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　　φ^-4＝−３φ＋５、 √５φ^-4＝７φ−１１

　　φ^-3＝２φ−３、 √５φ^-3＝-４φ＋７

　　φ^-2＝−φ＋２、 √５φ^-2＝３φ−４

　　φ^-1＝φ−１、 √５φ^-1＝−φ＋３

　　φ^0＝１、 √５φ^0＝２φ−１

　　φ^1＝φ、 √５φ^1＝φ＋２

　　φ^2＝φ＋１、 √５φ^2＝３φ＋１

　　φ^3＝２φ＋１、 √５φ^3＝４φ＋３

　　φ^4＝３φ＋２、 √５φ^4＝７φ＋４

　　φ^5＝５φ＋３、 √５φ^5＝11φ＋７

　　φ^6＝８φ＋５、 √５φ^6＝18φ＋11

　右辺ｍφ＋ｎの係数ｍ，ｎはフィボナッチ数列をなす．

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ペンタフレークにはいくつかのバリエーションがあり

これを逆に見れば1辺(2+2sin18)=2+(φ−１)=(φ+1)=φ^2の正五角形の面積S・(2+2sin18)^2が5sになるもの

5/φ^4=5(−３φ＋５)=0.73

これを逆に見れば1辺(2+2sin18)=2+(φ−１)=(φ+1)=φ^2の正五角形の面積S・(2+2sin18)^2が(5+φ^2/4)sになるもの

(5+φ^2/4)/φ^4=5/φ^4+1/(4φ^2)=5/φ^4+(2-φ)/4=0.73+0.0955=.8255

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正六角形では隙間がなくなり、正七角形では重複を生じるから、ｎ角形には一般化できないが、ｎ曜星に一般化することは可能である

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曜星と呼ばれる紋様では、

外側の大円の半径をR

内側の小円の半径をr

両者に接する円の個数をｎとおくと

R(1-sin(π/n)) =r(1+sin(π/n))

が成り立つ

R=1とすると、(n-1)個の半径(1-r)/2の円と1個の半径ｒの円ができる

面積は

(n-1)(1-r)^2/4+r^2倍となる

r=(1-sin(π/n))/(1+sin(π/n))

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n=3,.435935

n=4,.544156

n=5,.615569

n=6,.666666

n=7,.705254

n=8,.735535

n=9,.755993

n=10,.780193

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n=6のとき、r=1/3

(n-1)(1-r)^2/4+r^2=5/4・(2/3)^2+(1/3)^2=5/6+1/9=2/3

n→∞のとき、r→1

したがって、(n-1)(1-r)^2/4→0らしい

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f(n)=n-1

g(n)=(1-r)^-2

f(n)/g(n)を考える（ロピタルの定理)

f'(n)=1

g'(n)=-2(1-r)^-3・r'

r'=1/(1+sin(π/n))^2・{π/n^2・cos(π/n)(1+sin(π/n))+π/n^2・cos(π/n)(1-sin(π/n))}=1/(1+sin(π/n))^2・{2π/n^2cos(π/n)}

f'(n)/g'(n)=(1-r)^3/(2・r')→ふたたび0/0になってしまい、NG

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そこで、

1-r=2sin(π/n)/(1+sin(π/n))

n・(sin(π/n))^2=sin(π/n)^2/(π/n)^2・π^2/n

したがって、ｎ→∞のとき、f(n)/g(n)→0

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