ところが、掛谷の問題はこれで終わりではなかった・・・掛谷の問題を星状図形に制限すると、どうなるのだろうか?

星状図形に制限すると、ベシコヴィッチの定理「いくらでも面積の小さい図形を作ることができる」は成り立たないのである。

針の回転の可能な星状図形の面積は必ず

π/108以上である

すなわち、ベシコヴィッチ型定理は存在しない

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デルトイドの面積はπ/8であるが、それより面積の小さい図形を作ることは簡単ではないのであるが、 現在知られている最適値は(掛谷定数)

(5-2√2)π/24=0.2842582246・・・

シェーンベルグによってほぼπ/11の図形が作られた.

これより面積の小さい図形は見つかっていないが、星状図形に対する掛谷の問題は未解決のままである

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