平行移動だけで全平面を隙間なく覆えるのは，平行四辺形と平行六辺形に限られる．一方，平面上で正五角形を配列させるとどうしても隙間を生ずる．

　（その３）で隙間の占める割合を計算したところ，

　　１−６／φ^4＝０．１２４

すなわち，１２％程の割合であることがわかったが，一回り大きく拡大する毎に，新たな隙間が加わってくるので

　　１−（１−０．１２４）^n

の形で，隙間がだんだん大きくなる．

　その隙間に可能な限り正五角形を詰め込むと，菱形や星形５角形の隙間が残る非周期的な平面充填ができあがる．この問題をさらに追求したペンローズは，正五角形に関連した２つの菱形で，全平面を隙間なく覆えることを発見したのであった（ペンローズ・パターン）．

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