■同じ円に内接するいくつかの正多角形(その9)

 正七角形における

  1/a=1/b+1/c

  a+b+c=c^2/a

  1/a^2+1/b^2+1/c^2=2/R^2

  b^2/a^2+c^2/b^2+a^2/c^2=5

を調べ尽くしたわけではないが,そろそろ脱線を元に引き戻さなければならない.

[1]同じ円に内接するいくつかの正多角形

の不可思議な関係を図示しておきたい.

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[1]同じ円に内接するいくつかの正多角形

 1辺の長さ1の正五角形の4頂点を選び,対角線2本を交差させるようにひく.交点はそれぞれの対角線を黄金比に内分するので,長さφの対角線は長さ1の線分と長さ1/φの線分に分けられる.これらをそれぞれa,bとする.

 次に,対角線の交点と残った頂点を線で結ぶ.この線分の長さをcとする.菱形が二等分されることになるが,菱形の短い方の対角線の長さがcである.このとき,a^2+b^2=c^2が成り立つ.

  a^2+b^2=1+1/φ^2=(10−2√5)/4

  c=2sinπ/5

  a:白,b:黄,c:水色

  a:1辺の長さ1の正五角形の辺の長さ=半径1の円の半径

  b:半径1の円に内接する正十角形の辺の長さ

  c:半径1の円に内接する正五角形の辺の長さ

であるから,同じ円に内接する正五角形と正十角形の関係でもある.

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