π/8（デルトイド）より面積の小さい星状領域、できればπ/11より面積の小さい星状領域を構成してみたいのであるが、

実際問題としてデルトイドより面積の小さい星状領域をみつけることは簡単な問題ではない。

これからはすでに知られているシェーンベルグ集合、ボレリ集合を含む５種類の異なる星状集合を扱う。

Circular arc star shaped set (Schoenberg)

Asteroid arc star shaped set (Borrelli)

Peritrochoid arc star shaped set

Pentagram and N-cusped star shaped set

Slender N-cusped star shaped set

まずは、シェーンベルグ集合から・・・・

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シェーンベルグ集合は単位円に直交する奇数尖点の円弧からなる。

水平弦と斜行弦の長さを比較して短いほうの長さを１とし、面積を正規化する

N=3では正規化した面積はデルトイドより大きいが、N=5ではデルトイドより小さくすでに＜π/10となる。

N=9では水平弧のほうが短くなる。

面積は単調に減少し、N→∞で

(5-2√2)π/24=0.2842582246・・・〜 π/11taniennni

に収束する。この値は掛谷定数と呼ばれる。誰もまだこれより面積の小さい集合を構成できないのだ。

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