■高次元の準正多面体(その8)

 ワイソフ構成はn次元ベクトル

  m=(m0,m1,・・・,mn-1)

  miは0または1で,同時に0であってはならない

として表記することができるから,2^n−1種類ある.

 ワイソフ構成を決めると,n次元準正多胞体がひとつ定まるから,非自己双対の場合,切頂型・切頂切稜型準正多胞体は

  2^n−1

種類あるが,自己双対の場合は

  2^(n-1)+2^[(n-1)/2]−1

種類ある.

【定理1】ひとつのn次元原正多胞体から構成されるについて,n次元準正多胞体の種類は(原正多胞体も含め),2^n−1種類ある.ただし,原正多胞体が自己双対の場合は,2^(n-1)+2^[(n-1)/2]−1種類となる.

===================================

 しかし,3次元と4次元では重複する場合がある.

  {3,3}(0,1,0)≡{3,4}(1,0,0)

  {3,3}(1,0,1)≡{3,4}(0,1,0)

  {3,3}(1,1,1)≡{3,4}(1,1,0)

  {3,3,4}(0,1,0,0)≡{3,4,3}(1,0,0,0)

  {3,3,4}(1,0,1,0)≡{3,4,3}(0,1,0,0)

  {3,3,4}(1,1,1,0)≡{3,4,3}(1,1,0,0)

 このように,3次元・4次元では,正単体から構成されるn次元準正多胞体と正軸体から構成されるn次元準正多胞体などの間には重複するものがあるが,5次元以上では重複するものは知られてない.

【系1】n(≧5)次元準正多胞体の種類は(原正多胞体も含め),2^n+2^(n-1)+2^[(n-1)/2]−2種類となる.

 3次元では2(2^n−1)+2^(n-1)+2^[(n-1)/2]−1種類となる.

 4次元では2(2^n−1)+2(2^(n-1)+2^[(n-1)/2]−1)種類となる.

 n次元準正多胞体を細分類したい.正軸体系切頂型は2^n+2n胞体,正単体系切頂型は2(n+1)胞体となるもので,それ以外を切頂切稜型と呼ぶことにする.

【系2】準正多胞体を切頂型と切頂切稜型に分類すると,切頂型の種類は(原正多胞体も含め),2n−1種類ある.原正多胞体が自己双対の場合はn種類となる.

===================================