【２】４次元の正多胞体

シュレーフリは，シュレーフリ記号を一般化してｎ−１次元の正多胞面体｛ｐ1，ｐ2，・・・，ｐn-2｝が２次元低い構成要素上にｐn-1個ずつ会するようなｎ次元多胞体を｛ｐ1，ｐ2，・・・，ｐn-2，ｐn-1｝で表した．たとえば，｛ｐ，ｑ，ｒ｝は｛ｐ．ｑ｝が辺の回りにｒ個ずつ集まってできる４次元正多胞体という意味である．

シュレーフリはこれを利用して4次元の正多胞体をすべて決定した．４次元正多胞体の候補となるのは，３次元正多面体の二面角が１２０°未満のものに限られるから，

［１］｛３，３｝を用いるならば，ひとつの辺にそれを３個，４個，５個集めることができる→｛３，３，３｝，（３，３，４｝，｛３，３，５｝

［２］｛３，４｝を用いるならば，ひとつの辺にそれを３個集めることができる→｛３，４，３｝

［３］｛４，３｝を用いるならば，ひとつの辺にそれを３個集めることができる→｛４，３，３｝

［３］｛５，３｝を用いるならば，ひとつの辺にそれを３個集めることができる→｛５，３，３｝

４次元正多胞体は最大でも６つしかないことになる．それらは｛ｐ，ｑ，ｒ｝＝｛３，３，３｝，｛３，３，４｝，｛３，３，５｝，｛３，４，３｝，｛4，３，３｝，｛５，３，３｝の６通りで，それぞれ，正5胞体，正16胞体，正600胞体，正24胞体，正8胞体，正120胞体に対応している．正24胞体｛３，４，３｝は正８面体｛３，４｝が各辺の周りに３個ずつ集まってできる4次元特有の正多胞体である．

５次元にも拡張するために，４次元正多胞体の二胞角δを計算すると

｛３，３，３｝→ｃｏｓδ＝１／４　　（δ＝７５．５°）

　｛３，３，４｝→ｃｏｓδ＝−１／２　　（δ＝１２０°）

　｛３，３，５｝→ｃｏｓδ＝−（１＋３√５）／８　　（δ＝１６４．５°）

　｛３，４，３｝→ｃｏｓδ＝−１／２　　（δ＝１２０°）

　｛４，３，３｝→ｃｏｓδ＝０　　（δ＝９０°）

　｛５，３，３｝→ｃｏｓδ＝−（１＋√５）／４　　（δ＝１４４°）

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