■高次元の正多面体(その26)

 [1]正v角形(頂点数v)が半径1の球に内接しているとき

 [2]正多面体(頂点数v)が半径1の球に内接しているとき

いずれの場合であっても,すべての辺と対角線の長さの平方和はv^2で与えられることが確かめられた.ここまでくれば4次元の正多胞体の場合もそうに違いない.

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【1】正5胞体

 (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),((1−τ)/2,(1−τ)/2,(1−τ)/2,(1−τ)/2)を頂点とする1辺の長さ√2の正5胞体を考える.重心は((3−τ)/10,(3−τ)/10,(3−τ)/10,(3−τ)/10)であるから,外接球の半径は2/√5.

  L1=√2,N1=4

  V=5,K=5/4

  SS1=5/2

  SS2=25=V^2

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【2】正8胞体

 (±1,±1,±1,±1)を頂点とする1辺の長さ2,外接球の半径2の正8胞体を考える.

  L1=2,N1=4

  L2=2√2,N2=6

  L3=2√3,N3=4

  L4=4,N4=1

  V=16,K=1/4

  SS1=10

  SS2=256=V^2

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【3】正16胞体

 (±1,0,0,0),(0,±1,0,0),(0,0,±1,0),(0,0,0,±1)を頂点とする1辺の長さ√2,外接球の半径1の正16胞体を考える.

  L1=√2,N1=6

  L2=2,N2=1

  V=8,K=1

  SS1=6

  SS2=64=V^2

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【4】正24胞体

 正8細胞体の頂点(±1,±1,±1,±1)と正16胞体の頂点(±2,0,0,0),(0,±2,0,0),(0,0,±2,0),(0,0,0,±2)を頂点とする1辺の長さ2,外接球の半径2の正24胞体を考える.

  L1=2,N1=8

  L2=2√2,N2=6

  L3=2√3,N3=8

  L4=4,N2=1

  V=24,K=1/4

  SS1=10

  SS2=576=V^2

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【6】正600胞体

 τ=(1+√5)/2とおくと,正600胞体は正24胞体の頂点(±1,±1,±1,±1),(±2,0,0,0),(0,±2,0,0),(0,0,±2,0),(0,0,0,±2)24点と(±τ,±1,±1/τ,0)の偶置換で表される96点,合計120点を結んでできる.1辺の長さ√(6−2√5)=√5−1=2/τ,外接球の半径2.

  L1=√(6−2√5),N1=12

  L2=2,N2=20

  L3=√(10−2√5),N3=12

  L4=2√2,N4=30

  L5=√(6+2√5),N5=12

  L6=2√3,N6=20

  L7=√(10+2√5),N7=12

  L8=4,N8=1

  V=120,K=1/4

  SS1=18

  SS2=14400=V^2

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【6】正120胞体

 4次元正120胞体の構成は4次元正正多胞体のなかでも最も厄介であるが,600個の頂点の座標は,σ=(3√5+1)/2,σ’=(3√5−1)/2とおくと,正600胞体の頂点を含む(±2,±2,±2,±2),(±4,0,0,0),(0,±4,0,0),(0,0,±4,0),(0,0,0,±4),(±2τ,±2,±2/τ,0)216点と(√5,√5,√5,1),(τ^2,τ^2,√5/τ,1/τ),(σ、1/τ,1/τ,1/τ),(τ√5,τ,1/τ^2,1/τ^2)に偶数個の負号をつけた点の置換256点,(σ’,τ,τ,τ),(3,√5,1,1)に奇数個の負号をつけた点の置換128点で与えられる.1辺の長さ√2(3−√5)=2√2/τ^2,外接球の半径4.

  L1=√(28−12√5),N1=4

  L2=√(12−4√5),N2=12

  L3=√(24−8√5),N3=24

  L4=2√2,N4=12

  L5=√(36−12√5),N5=4

  L6=√(20−4√5),N6=24

  L7=√(32−8√5),N7=24

  L8=4,N8=32

  L9=√(28−4√5),N9=24

  L10=√(12+4√5),N10=12

  L11=√(40−8√5),N11=24

  L12=2√6,N12=28

  L13=√(36−4√5),N13=24

  L14=√(20+4√5),N14=24

  L15=4√2,N15=54

  L16=√(44−4√5),N16=24

  L17=√(28+8√5),N17=24

  L18=2√10,N18=28

  L19=√(24+8√5),N19=24

  L20=√(52−4√5),N20=12

  L21=√(36+4√5),N21=24

  L22=4√3,N22=32

  L23=√(32+8√5),N23=24

  L24=√(44+4√5),N24=24

  L25=√(28+12√5),N25=4

  L26=2√14,N26=12

  L27=√(40+8√5),N27=24

  L28=√(52+4√5),N28=12

  L29=√(36+12√5),N29=4

  L30=8,N30=1

  V=600,K=1/16

  SS1=62

  SS2=360000=V^2

[補]正120胞体の頂点をうまくとると,他の正5,8,16,24,600胞体をすべて作ることができる.たとえば,正5胞体は(−σ,1/τ,1/τ,1/τ),(1/τ,−σ,1/τ,1/τ),(1/τ,1/τ,−σ,1/τ),(1/τ,1/τ,1/τ,−σ),(1,1,1,1)を結んでできる.その意味で,正120胞体は4次元の「万有正多面体」である.3次元の正12面体の頂点からは正4面体と立方体を作ることができるが,正8面体と正20面体は面の中心を使わなければ作ることができないから,正120胞体ほど完全な万有正多面体ではないのである.

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