■18世紀における微積分(その53)

[4]∫dx/(1+x^2)^3/2=x/(1+x^2)^1/2

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 ∫dx/(1+x^2)^3/2dx=∫{2t/(1+t^2)}^3・(1+t^2)/2t^2dt

=2∫2t/(1+t^2)^2dt

 1+t^2=sとおく.2tdt=ds

=2∫1/s^2ds=-2/s

 t=x+(1+x^2)^1/2

 s=2+2x^2+2x(1+x^2)^1/2

 -2/s=-1/{1+x^2-x(1+x^2)^1/2}

(1+x^2)^2-x^2(1+x^2)=1+x^2

 -2/s=-{1+x^2-x(1+x^2)^1/2}/(1+x^2)

=x/(1+x^2)^1/2-1

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