受験参考書には２次曲線，３次曲線，４次曲線などで囲まれた面積の公式が必ずといってでてきます．

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【１】ベータ関数

　ベータ関数（オイラーの第１種積分）は，

　　Ｂ(a,b)=∫(0,1)t^(a-1)(1-t)^(b-1)dt t:0-1

によって定義されます．

　ここで，積分変数をｔからu=(1-t)/tによってuに変えると，

　　Ｂ(a,b)=∫(0,∞)u^(a-1)/(1+u)^(a+b)du u:0−∞

が得られます．

　ベータ関数とガンマ関数との間には

　　B(a,b)=Γ(a)Γ(b)/Γ(a+b)

の関係がありますから，ベータ関数はガンマ関数の兄弟分にあたります．

　　Γ(1/2)＝√π

を得るにはベータ関数が用いられます．この関数において，t=sin^2θとおくと　　dt=2sinθcosθdθ

ですから

　　B(a,b)=∫(0,1)t^(a-1)(1-t)^(b-1)dt

=2∫(0,π/2)sin^(2a-1)θcos^(2b-1)θdθ

ここで，a=1/2,b=1/2とすると

　　B(1/2,1/2)=2∫(0,π/2)dθ=π

　　Γ^2(1/2)/Γ(1)=π，Γ(1)=1ですから

　　Γ(1/2)＝√π

となります．

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　　上式を一般化すると，

　　∫(a,b)(x-a)^m(b-x)^ndx=m!n!/(m+n+1)!(b-a)^(m+n+1)

が得られます．これらは受験参考書に必ず書いてある

　　∫(a,b)(x-a)(x-b)dx=-1/6(b-a)^3

　　∫(a,b)(x-a)(x-b)^2dx=1/12(b-a)^4

という公式の一般化になっています．

　３次曲線

　　∫(a,b)(x-a)^2(x-b)dx=-1/12(b-a)^4

４次曲線で囲まれた面積は

　　∫(a,b)(x-a)^2(x-b)^2dx=1/30(b-a)^5

になるというわけです．

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