■18世紀における微積分(その20)

 これも阪本ひろむ氏に聞いた話.ある問題を解いているときに,以下の問題にぶつかったという.

 n→∞のとき,

  (1+1/n)^(n+1/2)

はeに収束し,かつ

  (1+1/n)^(n+1/2)>e

なのだが,この不等式の証明は如何に?

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  (1+1/n)^nは増加数列で,(1+1/n)^n→e

  (1+1/n)^1/2は減少数列で,(1+1/n)^1/2→1

したがって,

  (1+1/n)^(n+1/2)→e

は問題ないところである.

    2≦(1+1/n)^n<e

    1<(1+1/n)^1/2≦√2

これから,

   e<(1+1/n)^(n+1/2)<2√2

となればよいのだが,そうは問屋が卸さない.

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