ｎ＜105のとき、Φn（ｘ）に現れる０以外の係数は±１だけであるが、

Φ105（ｘ）には２か所に-２が現れる。ほかの係数が現れる最低次数のの円分多項式である。

その理由は１０５が３つの奇素数の積である最小の整数であるからである。

それとは直接関係ないと思われるが…

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【１】百五減算

　ｐ1，ｐ2，ｐ3が互いに素であるとき，ｐ1で割って余りがｒ1，ｐ2で割って余りがｒ2，ｐ3で割って余りがｒ3になる自然数Ａは一意に定まる．

しかし、3つともなると探すのに手間がかかる。しかし次のような巧妙な解法が知られている。

［Ｑ］連立合同式

　　ｘ＝１　　（ｍｏｄ３）

　　ｘ＝２　　（ｍｏｄ５）

　　ｘ＝３　　（ｍｏｄ７）

ｘを１０５で割るといくつ余るか．

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　ｐ1で割って１余る数かつｐ2ｐ3の倍数をｘ，ｐ2で割って１余る数かつｐ3ｐ1の倍数をｙ，ｐ3で割って１余る数かつｐ1ｐ2の倍数をｚとするとき，特殊解

　　Ａ＝ｘｒ1＋ｙｒ2＋ｚｒ3

が得られる．

　ｐ1で割って１余る数かつｐ2ｐ3の倍数をｘ＝７０

　ｐ2で割って１余る数かつｐ3ｐ1の倍数をｙ＝２１

　ｐ3で割って１余る数かつｐ1ｐ2の倍数をｚ＝１５

　　Ａ＝ｘｒ1＋ｙｒ2＋ｚｒ3＝７０・１＋２１・２＋１５・３＝１５７

　　ｐ1ｐ2ｐ3＝１０５

　　１５７−１０５＝５２

５２が求める余りですが、この解法は最後に１０５を引くところから百五減算と呼ばれている。

もっとも最後の計算は１０５以下であれば引けないし、２１０以上であれば２回引かなくてはならない。

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　　　　　　　　　７０　　　２１　　　１５　　　７０・１　　　２１・２　　　１５・３　　　Ａ

３で割った余り　　　１　　　　０　　　　０　　　　　　１　　　　　　０　　　　　　０　　　１

５で割った余り　　　０　　　　１　　　　０　　　　　　０　　　　　　２　　　　　　０　　　２

７で割った余り　　　０　　　　０　　　　１　　　　　　０　　　　　　０　　　　　　３　　　３

７０，２１，１５がマジックナンバーになっていて、3，5，7で割った余りの条件を満たすような数を求めることができるのである。

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【２】一般化

　　ｘ＝ａi　　（ｍｏｄｍi）,（ｍi，ｍj)=1

に対して、Ｍ＝Πｍi、Ｍi＝Ｍ/ｍiと定義する。

このとき、ＮiＭi=1　　（ｍｏｄｍi）となる解Ｎiが存在して、

　　ｘ＝ΣａiＮiＭi 　　（ｍｏｄＭ）

となる。

例：ａ1=3,ａ2=5→M=15,M1=5,M2=3

5N1=1 mod3→N1=2

3N2=1 mod5→N2=1

x=10a1+6a2 (mod15)

このとき、a1=2,a2=4ならばx=44＝14 (mod15)

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