Ｚ^2上の格子平行四辺形が頂点以外に格子点を含まないならば，その面積は１である．格子三角形が頂点以外に格子点を含まないならば，その面積は１／２である．一般にＺ^2上の格子多角形の面積は有理数である．

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【１】アコーピャン・田上の定理

　Ｚ^2上の格子多角形を４倍に拡大した格子多角形の内部の格子点の個数は必ず奇数である．

（証）Ａは１６倍，Ｂは４倍，したがって，ピックの公式によりＩは奇数となる．

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【２】格子多面体の体積

　ところで，ピックの定理を一般化して，３次元格子上に頂点をもつ多面体の体積公式を作ることができるだろうか？　実は，３次元の任意の格子多面体に対しては内部や境界面上の点の個数から体積を求める式はないことが証明されている（リーブ，１９５７）．

　平面上の格子三角形で，その内部および境界に頂点以外の格子点を含まないとき，その格子三角形（基本三角形）の面積は１／２である．これは平面上の項三角形の顕著な特質であり，これを用いてピックの定理を証明することができる．しかし，空間の四面体ではまったく状況が異なる．

　　体積＝内部の格子点数＋面上の格子点数／２−辺上の格子点数／４−１

が任意の格子多面体に対して成り立つならば話は簡単なのだが，そうは問屋が卸さないのである．３次元の任意の格子多面体に対しては内部や境界面上の点の個数から体積を求める式はないという例（リーブの四面体）をあげよう．

［１］体積＝内部の格子点数＋面上の格子点数／２−辺上の格子点数／４−１

が成立しない反例をあげると，４点（０，０，０），（１，０，０），（０，１，０），（１，１，ｚ）を頂点とする三角錐（体積ｚ／６）では，

　　内部の格子点数＝０

　　面上の格子点数＝４

　　辺上の格子点数＝４

より

　　内部の格子点数＋面上の格子点数／２−辺上の格子点数／４−１＝０

　この四面体では，

　　内部の格子点数＝０

　　面上の格子点数＝４

　　辺上の格子点数＝４

を変化させることなしに，ｚとともに体積をいくらでも大きくすることができる．

　リーブの四面体はリーブがＲ^3において，ピックの定理が成り立たないことを示すために用いたものであるが，リーブの四面体の離散体積は

　　Ｌ（ｔ）＝（ｚ／６）ｔ^3＋ｔ^2＋（２−ｚ／６）ｔ＋１

で与えられる．

［２］４点（０，０，０），（１，０，０），（０，１，０），（０，０，１）を頂点とする基本三角錐の体積は１／６，４点（０，０，０），（１，１，０），（１，０，１），（０，１，１）を頂点とする基本三角錐の体積は１／３，４点（０，０，０），（１，１，０），（１，０，１），（０，１，ｎ）を頂点とする基本三角錐の体積は（ｎ＋１）／６．体積がいくらでも大きいような基本四面体が存在するのである．

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【３】リーブの公式

　凸格子点多面体に限ると，すべての凸格子点多面体に対して成り立つ公式は存在するのだが，それでも非常に複雑なものになるという．→コラム「ピックの公式の拡張」参照

　Ｒ^3の点で，座標が（整数／ｎ，整数／ｎ，整数／ｎ）となるような点の全体をＬnで表すと，任意の整数ｎについて，

　　２ｎ（ｎ^2−１）Ｖ＝２（Ｉn−ｎＩ）＋（Ｂn−ｎＢ）

　　　Ｖ：格子多面体の体積

　　　Ｉ：内部の点の個数　　　　　Ｉn：内部のＬn点の個数

　　　Ｂ：境界線上の点の個数　　　Ｂn：境界線上のＬn点の個数

［１］立方体［０，１］^3

　Ｉ＝０，Ｂ＝８，Ｉ2＝１，Ｂ2＝ｖ＋ｅ＋ｆ＝２６→２・２（２^2−１）Ｖ＝２（１−２・０）＋（２６−２・８）＝１２→Ｖ＝１

［２］４点（０，０，０），（１，１，０），（１，０，１），（０，１，２）を頂点とする四面体

　Ｉ＝０，Ｂ＝４，Ｉ2＝２，Ｂ2＝１０→２・２（２^2−１）Ｖ＝２（２−２・０）＋（１０−２・４）＝６→Ｖ＝１／２

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【４】正四面体の体積

　４点（０，０，１），（０，１，０），（１，０，０），（１，１，１）を頂点とする正四面体に対して，リーブの公式を適用すると，

　Ｉ＝０，Ｂ＝４，Ｉ2＝１，Ｂ2＝１０→２・２（２^2−１）Ｖ＝２（１−２・０）＋（１０−２・４）＝４→Ｖ＝１／３

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