■五芒星と掛谷の問題(その183)

[1]y^3=x^2+3

12とx^2+3の最大公約数が1のとき,

x+i√3=(a+ib√3)^3

x^2+3=(x+i√3)(x−i√3)

(x+i√3)=(a+bi√3)^3

=a^3+3a^2bi√3−9ab^2−3b^3i√3

=(a^3−9ab^2)+(3a^2b−3b^3)i√3

=a(a^2−9b^2)+3b(a^2−b^2)i√3

(x+i√3)→a(a^2−9b^2)=x,3b(a^2−b^2)=1  (NG)

最大公約数が2の場合,x^2+3=2 (NG)

最大公約数が3の場合,x^2+3=3 (NG)

最大公約数が4の場合,x^2+3=4 (NG)

最大公約数が6の場合,x^2+3=6 (NG)

最大公約数が12の場合,x^2+3=12 (NG)

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[2]y^3=x^2+1

4とx^2+1の最大公約数が1のとき,

x+i=(a+bi)^3

x^2+1=(x+i)(x−i)

(x+i)=(a+bi)^3

=a^3+3a^2bi−3ab^2−b^3i

=(a^3−3ab^2)+(3a^2b−b^3)i

=a(a^2−3b^2)+b(3a^2−b^2)i

(x+i)→a(a^2−3b^2)=x,b(3a^2−b^2)=1

b=±1とすると,(3a^2−1)=±1→a=0→x=0,y=0

(3a^2−b^2)=±1とすると,b=±1→a=0→x=0,y=0

最大公約数が2の場合,x^2+1=2 (NG)

最大公約数が4の場合,x^2+1=2 (NG)

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[3]y^3=x^2

[4]y^3=x^2−1=(x+1)(x−1)

(x+1)と(x−1)の最大公約数が1のとき,x=3

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