ケプラーの３法則をもとにして力学を確立したのがニュートンですが，（その１０）ではニュートンの法則からケプラーの第２法則を導きました．今回のコラムではその逆，

［Ｑ］ケプラーの第２法則からニュートンの法則を導け（ケプラーからニュートンへ）．

を解いてみたいと思います．

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［Ａ］ｒ＝ｒ（θ）＝ａ／（１＋εｃｏｓθ）　　　（ａ＞０，０＜ε＜１）

　　　Σ＝ｄＳ／ｄｔ＝1/2ｒ^2ｄθ／ｄｔ（一定）

より，

　　焦点方向の加速度＝ｄｒ／ｄｔ＝ｄｒ／ｄθ・ｄθ／ｄｔ

　＝ａεｓｉｎθ／（１＋εｃｏｓθ）^2・ｄθ／ｄｔ

　＝ａεｓｉｎθ／（１＋εｃｏｓθ）^2・２Σ／ｒ^2

　＝２Σεｓｉｎθ／ａ

　また，

　　ｄ^2ｒ／ｄｔ^2＝２Σεｃｏｓθ／ａ・ｄθ／ｄｔ

　＝４Σ^2εｃｏｓθ／ａｒ^2

　　ｒ（ｄθ／ｄｔ）^2＝ｒ（２Σ／ｒ^2）^2＝４Σ^2／ｒ^3

　以上の結果より

　　焦点方向の加速度＝ｄ^2ｒ／ｄｔ^2−ｒ（ｄθ／ｄｔ）^2

　＝４Σ^2（ｒεｃｏｓθ−ａ）／ａｒ^3

　楕円軌道の方程式を変形すると

　　ｒεｃｏｓθ−ａ＝−ｒ

より

　　焦点方向の加速度＝−４Σ^2／ｒ^2

　この式は惑星の焦点方向の加速度が距離の２乗に反比例していることを示していて，万有引力の法則が導かれたことになる．

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