１４面体というと，ケルビンの１４面体，ウィリアムスの１４面体の他に，重角錐台型（４^12６^2）やねじれ重角錐台型（５^12６^2）も考えられます．ねじれ重角錐台型はケルビンの１４面体と区別するために「ゴールドバーグの１４面体」と呼ばれています．ゴールドバーグの１４面体はspace fillerではありませんが，ウィア・フェランの１４面体にでてくる多面体です．

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【１】ゴールドバーグの１４面体

　　　　　　　　　　　　　　　　　五角形面　　平均会合面数　　空間分割

　　α−１４面体（４^6６^8）　　　　なし　　　　５．１４３　　　　可

　　β−１４面体（４^2５^8６^4）　　あり　　　　５．１４３　　　　可

　　重角錐台 （４^12６^2）　　　　　なし　　　　４．２８６　　　不可

　　ねじれ重角錐台 （５^12６^2）　　あり　　　　５．１４３　　　不可

　　ｍ≦６−１２／ｆ＜ｍ＋１

とおいて，どの面もｍ角形またはｍ＋１角形からなる多面体をメディアル多面体と呼びます．６−１２／ｆが多面体の平均辺数になっているからです．

　ｆ≧１２のとき，メディアル多面体の構成は５^12６^(f-12)になります．ｆ＝１１のときｆ4＝１，ｆ5＝１０，ｆ＝１３のときｆ5＝１２，ｆ6＝１となるのですが，ｆ＝１１，１３のときメディアル多面体は存在しません．

　また，４≦ｆ≦１５（ｆ≠１１，１３）のとき，メディアル多面体はちょうどひとつあります．とくにｆ＝４，６，１２に対し，メディアル多面体は正四面体，立方体，正１２面体になっています．ｆ≧１６のとき，メディアル多面体は少なくとも２種類あります．

　ｆ＝１４のときメディアル多面体は５^12６^2型のねじれ重角錐台（truncated double skew pyramid）となります．もし，ゴールドバーグの予想が正しければ，ｆ＝１４のときの等周比の最小値はケルビンの１４面体（４^6６^8）ではなく，ゴールドバーグの１４面体（５^12６^2）によって達成されることになります．

　　M. Goldberg: The isoperimetric problem for polyhedra, Tohoku Math. J. 40, 226-236(1935)

によれば

　　　　　　　　　　等周比

　　４^6６^8　　　　１５０．１２３

　　５^12６^2 　　　１４３．８９　　　（軸の傾き：２６°５０′）

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【４】ウィア・フェランの極小曲面

　同じ体積の泡が集まっているときに，境界面積が最小となる泡の形は何だろうかという問いに対して，ケルビンの１４面体（４^6６^8）は１００年以上もの間，最も効率よく空間を充填する多面体として最善の答であったが，本当に表面積を最小化する多面体であるのかというと否定的であって，実はこの問題はいまでも未解決問題となっている．

　もし，体積が同じで形の異なる２種類の多面体を組み合わせてみたら，ケルビン問題の反例がみつかるのでは・・・．そして，１９９４年，アイルランドの物性物理学者，ウィアは合金構造をヒントにもっと面積が小さくなる解を発見した．それは同じ体積の２種類の多面体による空間充填であって，不等辺五角形の面をもつ１２面体（５角形１２枚）と１４面体（５角形１２枚と６角形２枚：ゴールドバーグの１４面体）が１：３の割合で並ぶものである．

　もちろん，この１２面体は正十二面体ではないし１４面体もケルビンの１４面体ではない．そして，ウィアの空間充填ではウィリアムズの１４面体（４^2５^8６^4）の場合と同様に辺や面には微妙な曲がりが含まれている．また，ウィアの空間充填ではウィリアムズの１４面体よりも多くの五角形の面をもつという特徴もあげられる．

　そしてこれらの多面体の表面積はケルビンの１４面体よりも０．３％小さいことが判明したのである．曲面の高精度計算がコンピュータでできるようになったことがこの新発見に繋がったのであるが，辺や面を微妙に調節することによって空間充填が可能となる．

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