■整数の三角数分割(その4)

 任意の自然数は4つの平方数の和の形に表せますが,

  7,15,23,31,39,47,・・・,8n+7

は3つの平方数の和としては表せない.

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 平方数を8で割ると,0,1,4余る.

(証明)

 2で割りきれるが4では割りきれない偶数の平方→8で割ると余りは4

 4で割りきれる偶数の平方→8で割ると余りは0

したがって,

 偶数の平方→8で割ると余りは4か0

 奇数(2n+1)の平方=4n(n+1)+1→8で割ると余りは1

したがって,

 3つの平方数の和→8で割ると余りは4か0か3

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 以上のことより

  7,15,23,31,39,47,・・・,8n+7

は3つの平方数の和としては表せない.

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