ヤコビの楕円関数θ1，θ2，θ3，θ4において，しばしば

　　θ4＝θ0

と書かれます．そのわけは，射影空間の点ｘ＝（ｘ0，ｘ1，ｘ2，ｘ3）の座標の添字０，１，２，３に対応させるためです．

　射影空間では，直線上の４点の複比

　　｛（ｘ0−ｘ2）／（ｘ1−ｘ2）｝／｛（ｘ0−ｘ3）／（ｘ1−ｘ3）｝

は不変です．今回のコラムでは，拡張したフィボナッチの問題をテータ関数を用いて証明してみることにします．

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【１】フィボナッチの問題

　ピタゴラス方程式：ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2には無数の自然数解があるのですが，それでは連立２次のディオファントス方程式：

　　ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2

　　ｘ^2−ｙ^2＝ｗ^2

の自明でない自然数解を考えてみましょう（フィボナッチの問題）．

　ただし，（１，０，±１，±１）などの自明な解は必ずあるわけですから，どのｘ，ｙ，ｚ，ｗも０でないものとします．

　実は，そのような答えをもたないことがフェルマーによって証明されていて，それがフィボナッチ・フェルマーの定理と呼ばれます．フィボナッチは西暦１２００年頃，解は存在しないことを予想していたのですが，４００年後にフェルマー得意の無限降下法によって証明が与えられました．すなわち（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）の最大公約数が１である任意の原始解を定めるとｘ’＜ｘなる第２の原始解，ｘ”＜ｘ’なる第３の原始解，・・・ができて矛盾を生じてしまうのです（要するに数学的帰納法）．

　さらに，この定理を応用すると，

「３辺の長さが自然数であるような直角三角形と同じ面積をもつ，辺の長さが自然数の正方形は存在しない（ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2，ｘｙ＝２ｔ^2）」

「ｘ^4−ｙ^4＝ｚ^2の自然数解はない」

「ｘ^4＋ｙ^4＝ｚ^4の自然数解はない（ｎ＝４の場合のフェルマー予想）」

などが証明できます．

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