半径Ｒ＝３ｒの円の円周上を半径ｒの円が滑らずに転がるとき，円上の固定点Ｐの最初の位置を（Ｒ，０）にとると，θだけ回転したときの点Ｐの座標は

　　ｘ＝２ｒｃｏｓθ＋ｒｃｏｓ２θ

　　ｙ＝２ｒｓｉｎθ−ｒｓｉｎ２θ

で与えられます．この軌跡がデルトイドで，デルトイドは３つの尖点をもつ図形です．

　デルトイドは１９世紀の幾何学者シュタイナーがシムソン線の包絡線として研究した図形で，シムソン線というのは三角形の外接円上の任意の１点から３辺に下ろした垂線の足を結ぶ直線のことです．

　コラム「コペルニクスの定理（ある有名な幾何の定理）」に掲げた「２円定理」により，半径２ｒの円が半径Ｒ＝３ｒの円の内側を転がるとき，円上の固定された直径の描く包絡線はデルトイドになるわけですが，デルトイドの場合，この直径の両端も同じデルトイド上にあります．

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【１】デルトイドの幾何学

　これにより「デルトイドの接線が曲線に挟まれる部分の長さは一定である」という性質が生じます．これはデルトイドでは長さ４ｒの棒をデルトイドに接しながら１回転することができるというのと同一です．

　そして，この事実により掛谷はデルトイドが「掛谷の問題」の解であると予想したのです．「掛谷の問題」については後述したいと思います．

　なお，ｎ個の尖点をもつハイポサイクロイド

　　ｘ＝（ｎ−１）ｒｃｏｓθ＋ｒｃｏｓ（ｎ−１）θ

　　ｙ＝（ｎ−１）ｒｓｉｎθ−ｒｓｉｎ（ｎ−１）θ

の面積は，定円の半径をＲ（＝ｎｒ）とした場合，ハイポサイクロイドの面積は

　　Ｓ＝（ｎ−１）（ｎ−２）／ｎ^2・πＲ^2

で表されます．

　デルトイドの場合はｎ＝３，Ｒ＝３ｒですから

　　Ｓ＝２πｒ^2

となって回転円の面積の２倍に等しくなります．また，ｎ→∞のとき

　　Ｓ→πＲ^2

となって定円の面積に近づきます．

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　冒頭に述べたことより，デルトイドでは半径２ｒの円上の定点の軌跡としても与えられますし，また，円周上を反時計回りと時計回りに動く２点Ｐ，Ｑがあり，点Ｐは点Ｑの２倍の速さで動くとき，直線ＰＱの包絡線もデルトイドになります．

　デルトイドについて，これまで同じ曲線を描くために異なる定義があるのをみてきましたが，他のハイポサイクロイド，エピサイクロイドについてもみてみましょう．すると

(1)半径３ｒの円が半径Ｒ＝４ｒの円の内側を転がるとき，円上の固定された正三角形の頂点の描く軌跡はアステロイドになる．

(2)半径３ｒの円が半径Ｒ＝２ｒの円の外側を転がるとき，円上の固定された正三角形の頂点の描く軌跡はネフロイドになる．

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