ｎ芒星、m/n角形、m=(n-1)/2を描くために最初に用いた方法は

ポンスレーの定理から

大円R, 小円r, R=rsec(mπ/n)

であった。R=1とするとr=cos(mπ/n)

このとき小円の外接円の半径は

r=cos(mπ/n)/cos(π/n)

で与えられる。

検してみたい・・・

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

R=1のとき、ｒは直線y=sin(2mπ/n)/{cos(2mπ/n)-1}・(x-1)と原点(0,0)との距離で与えられる。

y=sin(2mπ/n)/{-2(sin(mπ/n)^2}・(x-1)

-tan(mπ/n)・y=(x-1)

r=1/{1+(tan(mπ/n))^2}^1/2=cos(mπ/n)

R=rsec(mπ/n)は正しいと思われる。

すると外接円の半径はcos(mπ/n)/cos(π/n)でよさそうである。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

これでよしと思ったのだが、得られたrはやや小さい値であった。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

n=5のときはよいのだが、n=7のときはさらに外側に７点ができる。

きちんと図を描いてみないとわからないが、この７点が求めたい点であった。

r=cos(mπ/n)/cos(π/n)はNGで、面積については再考する必要がありそうである。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

r=cos(mπ/n)/cos(π/n)とした場合の面積を求めてみたい。θ=π/n

正ｎ角形の面積はnr^2sinθcosθ

二等辺三角形の面積はnrsinθ(1-rcosθ),合計nrsinθ

棒の長さは1+ｒ

S/L^2を計算すると

n=5: 0.587785・・・正三角形よりも大きくなってしまう

n=7: 0.482408・・・五芒星より小さくなる。

n=9: 0.405224

n=11: 0.348588

n=13: 0.305633

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

N芒星では

S/L^2を計算すると

n=5: 0.587785・・・正三角形よりも大きくなってしまう

n=7: 0.588735・・・五芒星より大きくなってしまう。

n=9: 0.588936

n=11: 0.588998

n=13: 0.589023

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝