■ラッキー7(その5)

 ピタゴラス三角形の直角を挟む辺をa,bとする.このとき,

  a,b,a−b,a+bのどれかは7で割り切れる

  (3,4,5)→真

  (5,12,13)→真

  (7,24,25)→真

  (8,15,17)→真

という言明の真偽を確かめてみよう.

 (その1)より,

  a^2−b^2=m  (mod 7)

    m=0,1,2,3,4,5,6

したがって,この言明は真のことも偽のこともありうると思われるが,・・・

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 a^2+b^2は平方数であるという条件を用いていないので,

  a=p^2−q^2,b=2pq,c=p^2+q^2

とおく.

  a+b=p^2−q^2+2pq

  a−b=p^2−q^2−2pq

  a^2−b^2=(p^2−q^2)^2−(2pq)^2=p^4−6p^2q^2+q^4

  p^4−6p^2q^2+q^4=p^4+p^2q^2+q^4  (mod 7)

[0]a=7k   → a^2=0,a^4=0  (mod 7)

[1]a=7k+1 → a^2=1,a^4=1  (mod 7)

[2]a=7k+2 → a^2=4,a^4=2  (mod 7)

[3]a=7k+3 → a^2=2,a^4=4  (mod 7)

[4]a=7k+4 → a^2=2,a^4=4  (mod 7)

[5]a=7k+5 → a^2=4,a^4=2  (mod 7)

[6]a=7k+6 → a^2=1,a^4=1  (mod 7)

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