■ラッキー7(その2)

 一般に与えられた平行四辺形の各辺を同じ倍率kで伸縮した位置に点をとって作った四角形の面積は,もとの平行四辺形の面積の

  M=2k^2−2k+1=2(k−1/2)^2+1/2

倍になる.

  k=1/3 → M=5/9

  k=1/2 → M=1/2

  k=2/3 → M=5/9

  k=1   → M=1

  k=3/2 → M=5/2

  k=2   → M=5

となる.

 0<k<1のときはもとの四角形より小さくなり,k=1/2のとき最小値1/4をとる.k>1のときはもとの四角形より大きくなり,k=3/2のときには5/2倍になる.

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[まとめ]

 各辺を同じ倍率kで伸縮した位置に点をとって作った三角形の面積は,もとの図形の三角形小部分の面積のk(k−1)倍になるが,もとの三角形は3重に,もとの四角形は2重に数えられているので,それぞれ,

  3k(k−1)+1

  2k(k−1)+1

になるというわけである.

 しかし,任意のn(≧5)角形では,与えられた図形に数えられない部分が生ずるので,同様の公式は存在しないことになる.

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