■五芒星と掛谷の問題(その12)
n芒星、m/n角形、m=(n-1)/2を描くために最初に用いた方法は
ポンスレーの定理から
大円R, 小円r, R=rsec(mπ/n)
であった。R=1とするとr=cos(mπ/n)
このとき小円の外接円の半径は
r=cos(mπ/n)/cos(π/n)
で与えられる。
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これでよしと思ったのだが、得られたrはやや小さい値であった。
そこで、
P(cos(2mπ/n),sin(2mπ/n))
Q(cos(4mπ/n),sin(4mπ/n))
PQとx軸との交点を求めると
x=1/{2cos(2mπ/n)-1},r=abs(x)
n=5,m=2のとき両者は一致する。
これが求めたい値であった。
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S/L^2を計算すると
n=5: 0.587785・・・正三角形よりも大きくなってしまう
n=7: 0.73414・・・五芒星より大きくなってしまう。
n=9: 0.761569
n=11: 0.771424
n=13: 0.776126
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ところで、エピサイクロイド(カージオイド,ネフロイドなど),ハイポサイクロド(デルトイド,アステロイドなど)には,直線族の包絡線であるという共通の性質が知られています.
たとえば,アステロイドは長さ4rの棒の両端をx軸,y軸にのせながら動かしたときの包絡線となっています.「アステロイド:x2/3 +y2/3 =a2/3 において曲線状の任意の点における接線がx軸,y軸と交わる点をそれぞれA,BとすればAB=aであることを証明せよ.」は高校の教科書にも取り上げられていて,ご存知の方も多いでしょうが,その逆問題「曲線上の任意の点における接線のx軸,y軸とで切り取られる部分の長さが一定であるような曲線を求めよ.(クレローの微分方程式)」を取り上げたものは少ないようです.この微分方程式は簡単に解けて,アステロイドという解曲線が得られます.
アストロイドの尖点数を減らすと,3つの尖点をもつ図形:デルトイドが得られます.デルトイドは3つの尖点をもつ図形ですが,「デルトイドの接線が曲線に挟まれる部分の長さは一定である.」という性質があります.これは,デルトイドでは長さ4rの棒をデルトイドに接しながら1回転することができるというのと同一です.デルトイドは掛谷の問題の答として予想されていた図形として,よく知られています.
また,ネフロイドは平行光線が円の内側で反射されるときの包絡線,カージオイドは光が周上の1点から発して円周で反射されたときにできる包絡線であることがわかっています.
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