一般的な４次方程式のガロア群は、解の4！＝24通りの置換からなっている。この群にはどんどん小さくなっていく一連の正規部分群があって、その大きさは

24，12，4，2，1

である。

24/12＝2（素数）

12/4＝2（素数）

４/２＝２（素数）

２/１=２（素数）

となる。

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五次方程式には５つの解があって、置換は５！=１２０通り

その一連の正規部分群は

120，60，1

である。

120/60（素数）であるが

60/1＝60（非素数）

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５次方程式を根によって解くことはできないことを示すのはがロアにとってあまりに簡単で、

５次方程式が解けないことの証明を実際に書き下してはいない。わざわざ言及するまでもなかったのである。

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　Ｓ2が可換群，巡回群であるのに対して，Ｓ3は回転と互換（鏡映）を合成するとき，その順序によって結果が変わるので非可換です．互換は奇置換なのですが，回転は常に偶置換となっているため，回転だけを取り出せば可換群，巡回群となります．

　Ｓ3から偶置換だけを抽出したものが３次交代群Ａ3です．すなわち，Ａ3は回転だけからなり互換は含まないので可換群というわけです．幾何学的には正三角形の回転（巡回群Ｃ3）と同一です．

　　　　　１　　　　ａ　　　　ａ^2

１　　　　１　　　　ａ　　　　ａ^2

ａ　　　　ａ　　　　ａ^2　　　１

ａ^2　　　ａ^2　　　１　　　　ａ

　このＡ3はＳ3の不変部分群（正規部分群）になっていて，Ｓ3がＡ3を不変部分群として含む，また，Ａ3は恒等置換だけを含んでいる，そしてこの相互関係を記号化すると

　　Ｓ3＞Ａ3＞Ｉd（恒等置換）

となります．３次方程式を解くということはＳ3のなかに不変部分群Ａ3を見つけることに対応していて，この関係よりＳ3は可解群であることがわかるというわけです．

　Ｓ3（＝Ｄ3）は主対角線に関して非対称ですから，交換法則が成り立たない非可換群で，Ｓ3は位数が最小の非可換群として重要な存在となっています．

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