楕円曲線は可換群の構造をもっていますが，

　　Ｃ：ｙ^2＝ｘ^3＋ａｘ＋ｂ＝ｆ（ｘ）

の有限体Ｆpにおける群の位数は，ルジャンドル記号を用いて

　　（ｆ（ｘ）／ｐ）＋１

のＦp＝｛０，１，・・・，ｐ−１｝をわたる和となります．あとの＋１は加法の単位元となる無限遠点です．

　ルジャンドル記号は（ｍｏｄ　ｐ）では平方根の逆数の如く振る舞います．これをシンボリックに

　　（ｆ（ｘ）／ｐ）＝１／√ｆ（ｘ）

と記すことにします．すると

　　＃Ｃ（Ｆp）＝ｐ＋１＋Σ１／√ｆ（ｘ）

となります．

　ところで，楕円関数の周期は

　　∫１／√ｆ（ｘ）ｄｘ

で表現できるのですが，このことから，有限群の位数は楕円関数の周期＝楕円積分に相当していることが理解されます．

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　超幾何関数は楕円積分を一般化したものですが，有限体Ｆpにおける楕円曲線

　　ｙ^2＝ｘ^3＋ａｘ＋ｂ　　　（ワイエルシュトラスの標準形）

で定まる可換群の位数は，ガウスの超幾何関数を用いて，

　　ｐ＝４ｎ＋１のとき，ｚ^n2Ｆ1（1/12,5/12,1,1-z）

　　ｐ＝４ｎ−１のとき，ｚ^n2Ｆ1（7/12,11/12,1,1-z）

　　　　　　ｚ＝−４ｂ^2／２７ａ^3

と求められます．

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　また，非特異３次曲線は，射影変換を用いれば，

　　ｙ^2＝ｘ（ｘ−１）（ｘ−λ）　　　（ルジャンドルの標準形）

に変換されます．この場合の可換群の位数は，

　　2Ｆ1（1/2,1/2,1,z），ｚ＝λ

すなわち，完全楕円積分

　　２／πＫ（√ｚ），ｚ＝λ

で与えられます．

　　2Ｆ1（1/2,1/2,1,x^2）=2/πＫ（x）

　　2Ｆ1（1/2,1/2,1,-x^2）=2/(π√(1+x^2))Ｋ（x/√(1+x^2)）

（この関数は２次元ランダムウォークの再帰確率の母関数としても登場します．）

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　オイラー族：

　　ｙ^2＝ｘ^3＋ａｘ^2＋ｂｘ

の位数は

　　2Ｆ1(1/4,3/4,1,x)，ｘ＝−４ｂ／ａ^2

です．ここで，

　　2Ｆ1(1/4,3/4,1,x^2)=2/(π√(1+x))Ｋ(ｋ)，ｋ^2＝{1-√(1-x^2)}/2

　　2Ｆ1(1/4,3/4,1,-x^2)=2√(1-2k^2)/πＫ(ｋ)，ｋ^2＝1/2{1-1/√(1+x^2)}

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　また，

　　ｙ^2＝ｘ^3＋ａｘ^2＋ｂ

の位数に対応するのが，

　　2Ｆ1(1/6,5/6,1,x)

です．

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　ここでは，上部パラメータα，βの分母が２，４，６，１２の有理数となる場合を掲げましたが，

　　2Ｆ1(1/2,1/2,1,x)，2Ｆ1(1/4,3/4,1,x)，2Ｆ1(1/6,5/6,1,x)，

　　2Ｆ1(1/6,1/3,1,x)，2Ｆ1(1/6,1/2,1,x)，2Ｆ1(1/4,1/2,1,x)，

　　2Ｆ1(1/3,1/2,1,x)，2Ｆ1(1/6,1/2,1,x)，2Ｆ1(1/4,1/2,1,x)，

　　2Ｆ1(1/8,5/8,1,1-x)，2Ｆ1(3/8,7/8,1,1-x)，2Ｆ1(1/8,5/8,1,1-x)，

　　2Ｆ1(1/12,5/12,1,1-x)，2Ｆ1(7/12,11/12,1,1-x)，・・・・・

など，分母が２，３，４，６，８，１２の有理数となる楕円曲線の族が知られています．

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　最後に，誤解のないように申し添えておきますが，有限体では上部パラメータ＜１となる超幾何関数2Ｆ1（α，β，１，ｘ）は常に有限のＦp係数多項式（＝代数的）になります．なお，代数的といっても，この場合，絵に描くことはできませんが・・・．

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