【２】ミルナーの反例

　数学者は１次元・２次元・３次元という一般的な空間だけにとらわれません．無限次元さえ考えるのですが，１９６４年，ミルナーはカッツの問題に対する反例を最初に見つけました．すなわち，幾何学的には異なるけれども同じ音を出す１６次元のドラムのペアを発見したのです．

　「Ｒ^16のなかには形の異なる２つの偶ユニモジュラ格子Ｅ8＋Ｅ8，Ｄ16+がある．この２つの格子から構成されるトーラスＲ^16／Ｅ8＋Ｅ8，Ｒ^16／Ｄ16+は同じテータ関数をもつ（＝等スペクトル）である．」

（証）１６次元ダイアモンド格子Ｄ16+のテータ関数は

　　１／２（θ2^16＋θ3^16＋θ4^16）

Ｅ8＋Ｅ8のテータ関数は

　　｛１／２（θ2^8＋θ3^8＋θ4^8）｝^2

　ここで，ヤコビの関係式

　　Ｄ4+＝Ｉ4　→　θ3^4＝１／２（θ2^4＋θ3^4＋θ4^4）

　　θ3^4＝θ2^4＋θ4^4

より，θ3を消去すれば両者は（定数倍を除いて）一致することが確認できる．

　ところが，偶ユニモジュラ格子は保型性

　　Θ((az+b)/(cz+d))＝(cz+d)^(n/2)Θ(z)

を満さなければならないため，１６次元の場合，テータ関数は，

　　Θ(z)＝１＋４８０Σσ7(n)ａｑ^2n＝Ｅ8(z)

ただひとつに限られる（σ7(n)はｎの正の約数の７乗和，Ｅ8(z)はアイゼンシュタイン級数）．

　したがって，トーラスＲ^16／Ｅ8＋Ｅ8とＲ^16／Ｄ16+は等スペクトルである（＝１６次元多様体の形は必ずしも聞き取ることはできない）ことが証明されたことになる．

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