■レムニスケートの等分点とテータ関数(その5)

 ワイエルシュトラスのペー関数の加法公式には重要な幾何学的解釈がある.

 p(z1+z2)=−p(z1)−p(z2)+1/4・{(p’(z1)−p’(z2))/)p(z1)−p(z2))}^2

 p(z1)+p(z2)+p(z1+z2)=1/4・{(p’(z1)−p’(z2))/(p(z1)−p(z2))}^2

a={(p’(z1)−p’(z2))/)p(z1)−p(z2))}

b={(p(z1)p’(z2)−p’(z1)p(z2))/(p(z1)−p(z2))}

x1=p(z1),x2=p(z2),x3=p(z1+z2)

(ax+b)^2=4x^2−g2x−g3の3根は

x1+x2+x3=a^2/4

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[1]p(ω1)=e1,p{(ω1+ω2)/2}=e2,p(ω2)=e3とする.p(u)=e1またはe2またはe3のとき,p’(u)=0

p’(u)^2=(p(u)−e1)(p(u)−e2)(p(u)−e3)

[2]p’(u)=pはp’^2=4p^3−g2p−g3を満たす.

4x^3−g2x−g3=(x−e1)(x−e2)(x−e3)

[3]判別式△=16(e1−e2)^2(e1−e3)^2(e2−e3)^2

e1+e2+e3=0

e1e2+e2e3+e3e1=−1/4・g2

e1e2e3=1/4・g3

△=g2^3−27g3^2

[4]代数的加法性をもつことを示すために

  f(u)=p’(u)−ap(u)−b

  f(u1)=f(u2)=0

  P(u1)=P1,P(u2)=P2

  P’(u1)=P1’,P(u2)=P2’とおく.

  aP1+b=P1’,aP2+b=P2’が成立する.

ここで,

  P(u1+u2)=P3,P’(u1+u2)=P3’とおけば

p’(u)が奇関数であることから

  aP3+b=−P3’

  4p’^2=p^3−g2p−g3を用いれば,

  (ax+b)^2=p^3−g2p−g3

はx=P1,x=P2x=P2を解にもつ.

P1+P2+P3=a^2/4

P1P2+P1P3+P2P3=−ab/2−g2/4

P1P2P3=b^2/4+g3/4

a=(P1’−P2’)/(P1−P2)

b=(P1P2’−P1’P2)/(P1−P2)

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 p(u1+u2)=−p(u1)−p(u2)+1/4・{(p’(u1)−p’(u2))/(p(u1)−p(u2))}^2

が成り立つ.

  P(u1)=P1,P(u2)=P2,P(u1+u2)=P3に対して

(P1+P2+P3)(4P1P2P3−g3)=(P1P2+P1P3+P2P3+g2/4)^2

が成り立つ.

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