【２】不完全ガウス和

　　Ｈ（ｍ，ｋ）＝Σ(k=0~k)ｅｘｐ（ｉ（２π／ｍ）ｋ^2）

と定義する．ｍを固定して，ｋ＝０，１，・・・，ｍ−１と動かすときれいな絵が得られる．

　ｍ＝２（ｍｏｄ４）のとき，完全和は０になるから，不完全和Ｈ（ｍ，ｋ）は初めに２個の螺線を出たリ入ったりした後，原点に戻る．ｍ→∞のとき，この螺線はコルニュの螺線に近づく．ｍ＝３（ｍｏｄ４）の場合，不完全和Ｈ（ｍ，ｋ）は再び２個の螺線を出たリ入ったりするが，原点には戻らず，√ｍで立ち往生することになる．

この様子は

　　［参］ナーイン「オイラー博士の素敵な数式」日本評論社

に掲載されている調和散歩の問題

（Ｑ）原点から実軸上を正の方向に１きたところで，反時計回りにθ回転し１／２進む．さらに再度θ回転し１／３進む．次はθ回転し１／４進む．これを繰り返す

を想起させる．

（Ａ）最終到達点は

　　ｐ（θ）＝１＋１／２ｅｘｐ（ｉθ）＋１／３ｅｘｐ（ｉ２θ）＋１／４ｅｘｐ（ｉ３θ）＋・・・

　　　　　　＝Σ(k=1,∞)ｃｏｓ（（ｋ−１）θ）／ｋ＋ｉΣ(k=1,∞)ｓｉｎ（（ｋ−１）θ）／ｋ

　θ＝π／２のとき

　　ｐ（π／２）＝（１−１／３＋１／５−１／７＋・・・）＋ｉ（１／２−１／４＋１／６−１／８＋・・・）＝π／４＋ｉ１／２ｌｏｇ２

このとき，終点と原点との距離は

　　｜ｐ（π／２）｜＝｛（π／４）^2＋（１／２ｌｏｇ２）^2｝^1/2＝０．８５８５

　θ＝πのとき

　　ｐ（π）＝１−１／２＋１／３＋１／４−・・・＝ｌｏｇ２

　　｜ｐ（π）｜＝ｌｏｇ２＝０．６９３

最終到達点が原点から最も近いのは，θ＝πのときであることが示される．

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