■n=□+□+□+□(その46)

[Q]x^2+y^2+z^2を4で割った余りと,x,y,zのうちの奇数の個数は一致する.

[A](2n)^2=4m

   (2n+1)^2=4n^2+4n+1=4m+1

3個とも奇数→x^2+y^2+z^2=4m+3

2個が奇数→x^2+y^2+z^2=4m+2

1個が奇数→x^2+y^2+z^2=4m+1

0個が奇数→x^2+y^2+z^2=4m

===================================

[Q]x^2+y^2+z^2=8m+7を満たすx,y,zは存在しない.

[A]x^2+y^2+z^2=8m+7を満たすx,y,zが存在すると仮定する(背理法).

  x^2+y^2+z^2=8m+7=4(2m+1)+3

より,3個とも奇数であるから,x=2p+1,y=2q+1,z=2r+1とおくことができる.

  x^2+y^2+z^2=4p(p+1)+4q(q+1)+4r(r+1)+3=8m+7

より

  p(p+1)+q(q+1)+r(r+1)=2m+1

左辺は偶数,右辺は奇数であるから矛盾.

===================================