三角形ＡＢＣの外接円の弧ＢＣ上に点Ｐをとる．点Ｐから３辺（あるいはその延長）に下ろした垂線の足をＤ，Ｅ，Ｆとすれば，３点Ｄ，Ｅ，Ｆは同一直線上にある（シムソンの定理）は，共線定理の例である．

　もうひとつの有名な共線定理が「オイラー線」である．三角形ＡＢＣの外心Ｏ，重心Ｇ，垂心Ｈは同一直線上にあり，

　　ＯＧ：ＧＨ＝１：２

である．外心Ｏ，重心Ｇ，垂心Ｈはオイオン座の三ツ星となっているのである．

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［１］三角形ＡＢＣの外心Ｏ，重心Ｇ，垂心Ｈ，外心Ｏから辺ＢＣに下ろした垂線の足を点Ｄとすると，

　　ＡＨ＝２ＯＤ

が成り立つ．

［２］外接円の半径をＲとすると

　　ＡＨ^2＋ＢＣ^2＝４Ｒ^2

　　ＡＨ^2＋ＢＨ^2＋ＣＨ^2＋ＡＢ^2＋ＢＣ^2＋ＣＡ^2＝１２Ｒ^2

　　ＯＨ^2＋ＡＢ^2＋ＢＣ^2＋ＣＡ^2＝９Ｒ^2

が成り立つ．

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［３］三角形ＡＢＣの垂心をＨ，外接円上の点をＰとする．このとき，点Ｐのシムソン線は線分ＰＨの中点を通る（シュタイナーの定理）．

［補］シュタイナーの反転法

　反転によって円は円に移る．放物線をその焦点を中心として反転すると，カージオイドに移る．

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