■グノーモンの謎(その14)

 (その13)において,

  Σ(1,n)klogk〜∫(1,n)xlogxdx+(f(n)+f(1))/2+ΣB2k/(2k)!(f^(2k-1)(n)-f^(2k-1)(1))+R

のベルヌーイ数を

  B2k=(−1)^k-1 ・2(2k)!/(2π)^2k・ζ(2k)

で置き換えると,

  Σ(1,n)klogk〜∫(1,n)xlogxdx+(f(n)+f(1))/2+Σ2(-1)^k-1/(2π)^2kζ(2k)(f^(2k-1)(n)-f^(2k-1)(1))+R

となって,ゼータ関数との関係が明らかになった.

 さらに,

  Σklogk〜(n^2/2+n/2+1/12)・logn-n^2/4+C

  C=1/4-1/720+1/5040-1/10080+・・・

となったが,定数Cは

  C=1/12−ζ’(−1)

で与えられることもわかった.ここで,exp(C)はグレイシャー(Glaisher)の定数と呼ばれるものである.

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