■立方数の和(その2)

 3乗の和は和の2乗である

  1^3+2^3+3^3+・・・+n^3=(1+2+3+・・・+n)^2

ことに驚かされ,お気に入りの恒等式になったという経験をお持ちの読者も少なくないだろう.

 今回コラムでは,

(Q)pは素数,h1,h2。・・・,hsを整数とすると

  (h1+h2+・・・+hs)^p=h1^p+h2^p+・・・+hs^p  (mod p)

であることをみてみたい.

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(A)2項の場合

  (h1+h2)^p=h1^p+(p,1)h1^p-1h2+・・・+(p,p-1)h1h2^p-1+h2^p=h1^p+h2^p  (mod p)

 3項の場合

  (h1+h2+h3)^p=(h1+h2)^p+h3^p=h1^p+h2^p+h3^p  (mod p)

等々.

 この式において,h1=h2=・・・=hs=1とおけば,フェルマーの定理を与える.

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(Q)pを素数とするとき,

  (p-1)!=-1  (mod p)

を証明せよ(ウィルソンの定理)

(A){2,3,・・・,p-2}のなかで,xx’=1  (mod p)を満足させるようなx,x’の対を考える.p>3であればxx’=1  (mod p)となるようなxと異なるx’が存在する.もしx=x’ならば(x+1)(x-1)=0(modp)となり,x=1かまたはx=p-1でなければならない.ゆえに

  2・3・・・(p-2)=1  (mod p)

  1・2・3・・・(p-2)(p-1)=-1  (mod p)

 もしpが1<u<pとなる約数uをもつとすれば

  1・2・3・・・(p-2)(p-1)+1=1  (mod u)

でなければならない.→pは素数である.

 ウィルソンの定理を用いると

  x^2+1=0(modp),p=4m+1

の解はx=±1・2・・・2m(modp)となることがわかる.

(A)

  1・2・・・2m(p-2m)・・・(p-2)(p-1)+1=1

  (1・2・・・2m)^2+1=0(modp)

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