【３-b】特異点の除去

こうして得られた

x=(n-2)acos(nθ)+nacos(n-2)θ-2Rsinθ

y=-(n-2)asin(nθ)+nasin(n-2)θ-2Rcosθ

が即，内転形になるわけではなく，一般にツバメの尾の形の特異点をもつ曲線となる．

特異点を除去するために，θで微分すると

x’=-n(n-2)asin(nθ)-n(n-2)asin(n-2)θ-2Rcosθ

y’=-ｎ(n-2)acos(nθ)+n(n-2)acos(n-2)θ+2Rsinθ

x”=-n^2(n-2)acos(nθ)-ｎ(n-2)^2acos(n-2)θ+2Rsinθ

y”=n^2(n-2)asin(nθ)-ｎ(n-2)^2asin(n-2)θ+2Rcosθ

x’y"-x"y’=2n^2(n-2)^2a^2-2n^2(n-2)^2a^2cos(2n-2)θ-8n(n-2)Rasin(n-1)θ-4R^2

=4n^2(n-2)^2a^2sin^2(n-1)θ-8n(n-2)Rasin(n-1)θ-4R^2

=4{n(n-2)asin(n-1)θ-R}^2

ここで，卵形線となるための条件は，曲率の符号が一定であることから，

R≧n(n-2) a

のとき，特異点は消失し，正ｎ角形の内転形となる．この図形はＲ→∞とすることによって，次第に円に近づく．

これより，a=1, R=n(n-2) aとして，ローター曲線は３項よりなる有限フーリエ級数

x=(n-2)cos(nt)+ncos(n-2)t-2n(n-2)sint

y=-(n-2)sin(nt)+nsin(n-2)t-2n(n-2)cost

で表すことができて，ステーターの直線部分が最長となるように最適化された形状になっている．ステーターはこの曲線の中心が半径２の円周上を（ｎ−１）公転する間に，ローターが１周する形状を備えている．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝