連分数は関数を近似するときにも有効である。

tanzの連分数から2次近似

　　tanz=z(15-z^2)/(15-6z^2)

が得られる。z=π/4のとき、0.9998となるが、

tanz=z+z^3/3+z^5/5ではこれよりも32倍も大きい誤差を生じる。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

誤差積分の連分数近似

∫(0,z)exp(-x^2)dx=(49140z+3570z^3+739z^5)/(49140+19950z^2+2475z^4)

はz=2に対して1.2％の誤差であるが、z^9までのベキ級数展開では正しい値より110％も大きくなる

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

exp(-x^2)=1-x^2+x^4/2-x^6/6+・・・

∫(0,z)exp(-x^2)dx=x-x^3/3+x^5/10-x^7/42+・・・=(ax+bx^3+cx^5)/(d+ex^2+fx^4)

(ax+bx^3+cx^5)=(d+ex^2+fx^4)(x-x^3/3+x^5/10-x^7/42+・・・)

=dx+(e-d/3)x^3+(d/10-e/3+f)x^5+・・・

a=49140,b=3570,c=739とおく（あるいはa=49140,b=3570,c=739とおかなくても解けるものなのかもしれない）

a=d=49140

b=e-d/3→e=b+d/3=19950

c=d/10-e/3+f→f=c-d/10+e/3=2475

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

exp(-x^2)=1-x^2+x^4/2-x^6/6+・・・

∫(0,z)exp(-x^2)dx=x-x^3/3+x^5/10-x^7/42+・・・=(ax+bx^3+cx^5)/(d+ex^2+fx^4)

(ax+bx^3+cx^5)=(d+ex^2+fx^4)(x-x^3/3+x^5/10-x^7/42+・・・)

=dx+(-d/3+e)x^3+(d/10-e/3+f)x^5+・・・

（あるいはa=49140,b=3570,c=739とおかなくても解けるものなのかもしれない）

a=d

b=-d/3+e

c=d/10-e/3+f→fで表すことはできない→連分数が必要であると思われる　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

exp(-x^2)=1-x^2+x^4/2-x^6/6+x^8/24-x^10/120+ ・・・

∫(0,z)exp(-x^2)dx=x-x^3/3+x^5/10-x^7/42+x^9/216-・・・=(ax+bx^3+cx^5)/(d+ex^2+fx^4)

(ax+bx^3+cx^5)=(d+ex^2+fx^4)(x-x^3/3+x^5/10-x^7/42+x^9/216-・・・)

=dx+(-d/3+e)x^3+(d/10-e/3+f)x^5+(-d/42+e/10-f/3)x^7+(d/216-e/42+f/10)+x^9・・・

a=d

b=-d/3+e

c=d/10-e/3+f　

-d/42+e/10-f/3=0→-5d+21e=70f

d/216-e/42+f/10=0→35d-180e=-756f

e=266・f/33

d=1092・f/55

f=165とおくと

d=3276,e=1330

a=3276,b=-3276/3+1330=238

c=3276/10-1330/3+165

15倍すると

a=49140,b=3570,c=4914-6650+2475=739

d=49140,e=19950,f=2475

→連分数が必要であるのではなく、式の不足が原因だったのである

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝