素数が無限に存在すること・√２が無理数であることは，ギリシア数学のなかでも有名な定理です．それぞれユークリッドとピタゴラスが背理法を用いて証明しています．

（証明）素数は有限と仮定して，最大の素数をｐkとおく．

　　ｐ1ｐ2・・・ｐk＋１

の素な約数は，互いの異なる素数ｐ1，ｐ2，・・・，ｐkのどれとも一致しない．

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［Ｑ］４ｍ＋３型の素数は無限に存在することを証明せよ．

［Ａ］奇素数を４で割ったときの余りは１か３である．４ｍ＋１型の数の積

　　（４ｍ1＋１）（４ｍ2＋１）・・・（４ｍk＋１）

はまた４ｍ＋１型になる．また，ｐ1，ｐ2，・・・，ｐkを４ｍ＋３型素数とすれば，

　　４ｐ1ｐ2・・・ｐk−１

は４ｍ＋３型の素因数を少なくともひとつもたねばならない．それをｑとすれば，ｑは互いの異なる素数ｐ1，ｐ2，・・・，ｐkのいずれとも異なっている．

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［Ｑ］６ｍ＋５型の素数は無限に存在することを証明せよ．

［Ａ］３より大きい素数は６ｍ＋１６ｍ＋５のいずれかの形をしている．また，ｐ1，ｐ2，・・・，ｐkを６ｍ＋５型素数とすれば，

　　６ｐ1ｐ2・・・ｐk−１

は必ず６ｍ＋５型の素因数を少なくともひとつもたねばならない．それをｑとすれば，ｑは互いの異なる素数ｐ1，ｐ2，・・・，ｐkのいずれとも異なっている．

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