■素数の逆数和(その58)

 中央二項係数(2n,n)にスターリングの近似式

  n!〜(2πn)^1/2n^nexp(−n)

を適用すると

  (2n,n)=(2n)!/(n!)^2

〜(4πn)^1/2(2n)^2nexp(−2n)/(2πn)n^2nexp(−2n)

〜1/(πn)^1/2・2^2n

〜4^n

となる.すなわち,n→∞となるにつれて漸近的にnが1増す毎に4倍となる.

 また,

  (2n,n)=(2n)!/(n!)^2

=(n+1)(n+2)・・・(2n)/n!

であるが,これが3・5・7・11を互いに素である最大の整数nはn=3160であると予想されている(R.グラハムの予想).

 実際,3160<n<10^110に対して,(2n,n)はd≦11なる約数をもつことが確かめられている.

===================================