■ベキ和の整除性(その14)

S1=Σk=n(n+1)/2

S2=Σk^2=n(n+1)(2n+1)/6

S3=Σk^3=n^2(n+1)^2/4

S4=Σk^4=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n−1)/30

S5=Σk^5=n^2(n+1)^2(2n^2+2n−1)/12

S6=Σk^6=n(n+1)(2n+1)(3n^4+6n^3−3n+1)/42

S7=Σk^7=n^2(n+1)^2(3n^4+6n^3−n^2−4n+2)/24

 ベルヌーイはこの式の列を見て,次のようなパターンを発見しました.一般式の形で書くと,Ss=Σk^sは

  Ss=1/(s+1){B0n^(s+1)+(s+1,1)B1n^s+・・・+(s+1,s)Bsn}

  =1/(s+1)Σ(K=0-s)(s+1,k)Bk(n+1)^(s+1-k)

と,ベルヌーイ数Bnを含む式で表すことができます.

===================================

 具体的に係数Bn を求めてみましょう.有名なベルヌーイ数列{Bn}の指数型母関数は

  x/(exp(x)−1)

で与えられます.すなわち,ベルヌーイ数は

  x/(exp(x)−1)=B0/0!+B1/1!x+B2/2!x^2+B3/3!x^3+・・・=ΣBnx^n/n!

で定義される有理数で,係数Bnはベルヌーイ数と呼ばれます.容易にわかるように,lim(x→0)x/(exp(x)−1)=1が成立します.

 定義より,ベルヌーイ級数は,べき級数

  (exp(x)−1)/x=1+1/2!x+1/3!x^2+1/4!x^3+・・・

の反転級数と考えることができます.

  exp(x)=1+1/1!x+1/2!x^2+・・・

ですから

x/(exp(x)−1)

=x/(x+x^2/2!+x^3/3!+・・・)

=1/(1+x/2!+x^2/3!+・・・)

=1-(1+x/2!+x^2/3!+・・・)+(1+x/2!+x^2/3!+・・・)^2-・・・

=1-1/2x+1/6x^2-1/30x^4+・・・

 これより,B0=1,B1 =−1/2で

  x/(exp(x)−1)−B1 /1!x=x/2・(exp(x)+1)/(exp(x)−1)

は偶関数ですから,奇数項は第一項以外は0で,偶数項はB2=1/6,B4=−1/30,B6=1/42,B8=−1/30,B10=5/66,B12=−691/2730,B14=7/6,B16=−3617/510,B18=43867/798であとは分子が急速に大きくなり,たとえば,B32=−7709321041217/510,B34=2577687858367/6です.分母は必ず6で割り切れます.

 ベルヌーイ数については,再帰公式

  (B+1)^n-B^n=0

が成り立ちます.ただし,2項展開してからB^nをBnで置き換えることにします.ベルヌーイ数は数多くの魅惑的な整数論的特性をもっていて,正則素数の判定にも顔を出す興味深い数となっています.

===================================