■iのn乗(その37)

 数を連分数で表示すると数字1が大量に出現することに気づきます.

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【1】ガウスの定理

 1828年,ガウスは整数部を除いた[0:a1,a2,a3,・・・,an]がxより小さい小数となる確率は

 P([0:a1,a2,a3,・・・,an]<x)=log2(1+x)+εn

で与えられることを証明しました.

 誤差項に関して,1928年にクズミンはほとんどすべての連分数に対して,

  εn=O(q^√n)  0<q<1

1929年にレヴィは

  εn=O(q^n)  q=0.7

であることを示しました.どちらも誤差項εnは漸近的に0になることを示しています.

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

 ガウスはまた,連分数の部分商の確率密度関数は

  P(an=k)=P(k<εn<k+1)=P(εn<k+1)−P(εn<k)

→log2(1+1/k)−log2(1+1/(k+1))=log2(1+1/k(k+2))

であることを示しました.

 an=1,2,3,・・・に対する確率は大部分の小数部で等しいのと対照的に,連分数では減少していきます.そして,十分大きなnに対する部分商の起こる確率Pは

k        1  2  3  4  5  6  7  8 9+

P(an =k)  .41 .17  .09  .06  .04 .03 .02 .02 .16

となることがわかります.

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