■ありやなしや(その33)

 ブラーマグプタの銘言に「数学者とは

  x^2-92y^2=1

を1年以内に解ける人のことである」とあるそうです.

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【1】ブラーマグプタの恒等式

  (x1^2-Ny1^2)(x2^2-Ny2^2)=(x1x2+Ny1y2)^2-N(x1y2+x2y1)^2

 そして,ブラーマグプタはこの恒等式を使って

  x^2-92y^2=1

を解いたそうです(628年).

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 たとえば,x=10,y=1のとき

  x^2-92y^2=8

比較的小さい値なので,これを使うことにする.

[1]ブラーマグプタの恒等式に

  N=92,x1=x2=10,y1=y2=1

を代入すると

  8^2=192^2-192・20^2

  1=24^2-92・(5/2)^2

[2]ブラーマグプタの恒等式に

  N=92,x1=x2=24,y1=y2=5/2

を代入すると

  1=1151^2-92・120^2

 したがって,(x,y)=(1151,120)はペル方程式の整数解となる.

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