【３】オイラー・フース型定理の導出

　メビウス変換

　　ｗ＝（ｚ＋ａ）／（ａｚ＋１）

の逆変換は

　　ｚ＝（−ｗ＋ａ）／（ａｗ−１）

である．

　　ｓ＝（１−ｓｉｎ（π／ｎ））／（１＋ｓｉｎ（π／ｎ））

とおくと，

　　α＝−（ｓ＋ａ）／（ａｓ＋１）

　　β＝（−ｓ＋ａ）／（ａｓ−１）

である．

　これからｓを消去する．第１式より

　　ａ＝−（ｓ＋α）／（αｓ＋１）

第２式に代入すると

　　β＝（ｓ（αｓ＋１）＋（ｓ＋α））／（ｓ（ｓ＋α）＋（αｓ＋１））

　　β（２αｓ＋ｓ^2＋１）−α（ｓ^2＋１）＝２ｓ

　　２αβｓ＋（β−α）（ｓ^2＋１）＝２ｓ

　ここで，

　　（α＋β）／２＝ｄ，（β−α）／２＝ｒ

より，

　　α＝ｄ−ｒ，β＝ｄ＋ｒ

を代入すると

　　ｄ^2−ｒ^2＋ｒ（ｓ＋１／ｓ）＝１

　　ｄ^2＝ｒ^2−ｒ（ｓ＋１／ｓ）＋１

　　大円（半径Ｒ），小円（半径ｒ），中心間距離ｄ

では

　　ｄ^2＝ｒ^2−ｒＲ（ｓ＋１／ｓ）＋Ｒ^2

これがシュタイナーの定理に対応するオイラー・フース型定理である．

　もし，ｄ＝０ならば

　　（ｒ−ｓＲ）（ｒ−Ｒ／ｓ）＝０

となるが，ｒ＝Ｒ／ｓは大円と小円が逆転するのでｒ＝ｓＲ．また，ｓ＜１／ｓより，ｒはｄ＝０のとき最大値ｓＲをとる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【４】和算に挑戦

　「外円内に甲乙乙丙丁の５円が，十字型

　　（甲）

　（乙丁乙）

　　（丙）

に内外接している．外円の直径は６寸，甲円の直径が２寸のとき，丙円の直径を求めよ」という問題を解いてみよう．この問題は，１８３０年一関の和算家・千葉胤秀編集の「算法新書」より出典とある．

　関係式

　　ｄ^2＝ｒ^2−ｒＲ（ｓ＋１／ｓ）＋Ｒ^2

さえ導き出せればあとは簡単で，題意より

　　ｄ＋ｒ＝１

　　ｎ＝４のとき，ｓ＋１／ｓ＝６

　　ｄ^2＝ｒ^2−ｒＲ（ｓ＋１／ｓ）＋Ｒ^2＝ｒ^2−１８ｒ＋９

　　ｄ^2＝（１−ｒ）^2＝ｒ^2−２ｒ＋１

　　ｒ^2−１８ｒ＋９＝ｒ^2−２ｒ＋１

を解くと，

　　ｒ＝１／２，ｄ＝１／２，ｄ−ｒ＝０

したがって，丙円の直径は外円の半径に等しい．　　（Ａ）３寸

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　これに倣って，円の直径が整数値となる例題をつくってみよう．

　ｎ＝３のとき，ｓ＋１／ｓ＝１４

　ｎ＝４のとき，ｓ＋１／ｓ＝６

　ｎ＝６のとき，ｓ＋１／ｓ＝１０／３

であるのに対して，

　ｎ＝５のとき，ｓ＋１／ｓ＝２２−８√５

　ｎ＝８のとき，ｓ＋１／ｓ＝１４−８√２

　ｎ＝１０のとき，ｓ＋１／ｓ＝（３０−８√５）／５

　ｎ＝１２のとき，ｓ＋１／ｓ＝３０−１６√３

となって，後者では円の直径が整数値となる例をつくることは難しいようである．

　そこで，ｎ＝６の場合を考えるが，たとえば「外円内に甲乙乙丙丙丁の６円が戊円を取り巻いて内外接している．

　　（甲）

　（乙戊乙）

　（丙丁丙）

外円の直径は１８寸，甲円の直径が３寸のとき，丁円の直径を求めよ」という問題になる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝